« Nell'ipotesi dell'esistenza della quarta superficie S 3 , come viene asse- 

 rita del teorema, distinguiamo per questa superficie tutte le quantità relative 

 coll'apposizione dell'indice 3. Essendo allora S 3 legata alla Si da una trasfor- 

 mazione B'(j 2 , dovremo avere, per le (5) (7) : 



x 3 — x x -+- cos a 2 sen eo 3 j (sen w, sen co — sen c x cos co x cos co) X' -f- 



+ (cos toj sen co-j-- sen c x sen u, cos «) X" + cos g 1 cos «X j -f- 



+ cos e, cos « 3 1 (sen w l cos co + sen cr l cos «i sen co) X' -f- 



+ (cos cos co — sen Ci sen co 1 sen co) X" — cos ts\ sen co X | ■ 



« Poiché d'altronde la S 3 si ottiene dalla S 2 con una trasformazione 

 B' cri , sarà altresì : 



x 3 = x%-\- cos o - ! sen w 3 < (sen w 2 sen co — sen c 2 cos co 2 cos co) X' -f- 

 -f- (cos o; 2 sen co 4- sen c 2 sen co 2 cos e»)X" -*!- cos c 2 cos wX | -f- 

 -f- cos a x cos ct) 3 | (sen co 2 cos co -h sen c 2 cos co 2 sen co) X' + 



-f- ( cos co 2 cos o) — sen c 2 sen co 2 sen co) X" — cos c 2 sen «X j • 



« Dal paragone delle due espressioni di x 3 , tenendo conto delle (8), 

 deduciamo : 



cos cr 1 sen H- cos c 2 sen co 3 (sen #i sen co — sen <s x cos co x cos co) -h 

 -f- cos c 2 cos co 3 (sen co x cos co -f- sen <f x cos w x sen «) — 

 --— cos c 2 sen co 2 -f- cos o - ! sen eo 3 (sen « 2 sen « — sen <r 2 cos co 2 cos co) -f- 

 + cos o - ! cos w 3 (sen co 2 cos m + sen c 2 cos co 2 sen co) , 



cos cos Wi -+- cos c 2 sen « 3 (cos «i sen co -f- sen c ( sen wi sen co) + 

 -f- cos c 2 cos ci) 3 (cos cos o) — sen cs l sen o) l sen co) = 

 — cos c 2 cos co 2 -f- cos Ci sen co 3 (cos co 2 sen co -f- sen c 2 sen co 2 cos co) -f- 

 -f- cos c x cos co 3 (cos oo 2 cos o) — sen c 2 sen co 2 sen co). 



« Queste moltiplicate una prima volta per sen»!, coso)!, una seconda 

 volta per senco 2 , cos « 2 e ogni volta sommate, danno le due equazioni: 



cos c t sen c 2 sen (co 2 — wi) sen (co 3 — co) + £cos ^ cos (co 2 — co x ) — 



— cos c 2 J cos (co 3 — co) = cos Cj — cos c 2 cos (co 2 COi) 



— cos c 2 sen c x sen (co 3 — co) sen (co 3 — co) + [^cos c 2 cos (co 2 — i»i) — 



— COS cQ COS (co 3 — co) = COS Co — COS G l COS (ft) 2 COj) 



