la nuova soluzione co x della (2) essendo legata alla co dalle formole genera- 

 lizzate di Darboux 



D(coi — o)) 1 -f- sen Ci 



(6) 



~ÒU COS Ci 



~ò(ù) l -ha)) 1 — sen Ci 



sen («i -f- co) 

 sen (ftjj — co). 



~òv COS Ci 



« Pei coseni di direzione Xi , X\ , X/' abbiamo poi : 

 lXi — — cos Ci coso)! X' + cosCi sen w x X" — sen Ci X 

 yK'i^senft»! sen co — sencjcoswi coso^X'-f-^osw! sen&H-sen elenco x costo) X"H- 

 (7)/ cos tt x cos co X 



/Xi"=(sen«i cosw+senCi cos»! sentó)X'+(cosoj 1 coso; — senc x sencoi sen«)X" — 

 \ — cos Cj sen «X 



e analogamente per Yi , Zi ecc. 



II. 



Teorema di permutabilità. 



« Se Si, S 2 sono due superficie pseudosferiche legate 

 alla medesima superficie pseudosferica S da due trasfor- 

 mazioni di Bàcklund B ai , , con costanti diverse cr x , c 2 , 

 esiste una quarta superficie pseudosferica S 3 legata rispet- 

 tivamente alle Si, So da trasformazioni di Backlund B'<j 2 , B' Cl 

 colle costanti c 2 , Ci ('). 



« È chiaro che dalla superficie S si perviene alla finale S 3 sia facendo 

 prima la trasformazione B ai , indi la B' Cj sia eseguendo prima la Bs 2 , indi 

 la B's, ; onde il nome di teorema di permutabilità. 



« Per dimostrarlo riportiamo le formole del numero precedente applicate 

 alle due superficie Si , S 2 e cioè : 



(8) %i = x~h cos Ci (sen «1 X' -f- cos co i X") , 



x% '= x -f- cos <r 2 (sen co 2 X r -h cos co 2 X") 

 colle analoghe in y x ,z x .... ove fra w,, co; co z , co sussistono le rispettive 

 relazioni 



I 7» (o) x — co) 1 -+- sen Ci 



(9) 



(9*) 



— sen (tói+w), 



£ DM COS Ci 



( ~Ò («i -j- co) 1 — senc x 



~~ÒV COS Ci 



D (w 2 — «) 1 -f- sen c 2 



Dm cos c 2 



D (oì 2 -+- co) 1 — sen c 2 



~~ÒV cos c 2 



sen (w, — co) , 

 sen (co 2 -+- co) , 

 sen (co 2 — co). 



(*) Nel caso particolare, in cui una delle due trasformazioni B CTi B<7 2 sia a costante <r 

 nulla, questa proprietà fu già da me osservata nel T. XIV degli Annali di matematica. 



