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« È bensì vero che essa si compone di una trasformazione complemen- 

 tare preceduta e seguita da due trasformazioni di Lie, inversa l'una dell'altra. 

 Però, mentre la trasformazione di Bàcklund e quella complementare sono rea- 

 lizzabili con effettive costruzioni geometriche, lo stesso non avviene per la 

 trasformazione di Lie, il cui significato sembra puramente analitico. 



Forinole per la trasformazione di Bàcklund. 



« Kiferiamo una superficie S a curvatura costante negativa K = 

 alle sue linee assintotiche (u, v) e sia 



(1) 



ds 2 



dir -+- 2 cos (2<w) du dv -h dv 



la nota espressione del suo elemento lineare, l'angolo 2» compreso dalle as- 

 sintotiche essendo una soluzione dell'equazione 



^ 2 (2«) 



(2) 



sen (2<«). 



« Indicando con X, Y, Z ; X', Y', Z' ; X", Y", Z" rispettivamente i coseni 

 di direzione della normale e delle tangenti alle linee di curvatura nel punto 

 sussistono le forinole 



— = cos wX' -f- sen co X' 1 



lau 



DX v ., 



= — COS ù)X 



(3) 



~ÒU ~ÒU 



7>X r 



X' 



cos o) X 

 • sen «X 



1)V 



1)0) 

 ~ÒV 



X" 

 X' 



sen o) X" 

 cos 0) X 

 sen « X , 



e le analoghe per Y, Z ; Y\ TI ; Y", Z' 

 punto (u, v) sulla S abbiamo inoltre : 



Per le coordinate correnti se, y, s del 



~òx 



~òx 



(4) — = — sen cX' + cos «X", — = sen « X' + cos «X" 



~ÒV 



colle analoghe per y, z. 



u Consideriamo ora una superficie Si trasformata di Bàcklund della S 

 e sia cos <J X la distanza costante di due punti corrispondenti di S, Si ; diremo 

 allora che Si è legata ad S da una trasformazione di Bàcklund B Gl . Distin- 

 guendo coli' indice 1 le quantità che per la S t sono le analoghe delle x,y, z; 

 X, Y, Z ecc. per la S, abbiamo, come è noto : 



l Xi — x + cos <s x (sen w x X' + cos w x X") 

 (5) < y x —ij -f- cos a 1 ! (sen w\ Y' + cos ù> x Y") 

 z -f cos (f x (sen u>i TI + cos a>i Z" ), 



