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u 3. Volendo ora esaminare il caso di una rete R di quadriche le cui 

 polarità ammettano una coppia di elementi corrispondenti in comune, suppor- 

 remo da prima che tale coppia sia costituita da un punto 0 e da un piano <w 

 che non si appartengano. In tale caso gli otto punti base della R risul- 

 tano a due a due coniugati nell'omologia armonica di centro 0 e di piano 

 assiale «, sicché si trovano su quattro rette della stella (0) formanti un 

 angolo quadrispigolo completo di cui due faccie opposte formano una qua- 

 drica degenere della R, e quindi la curva nodale della reto si spezza nei tre 

 raggi diagonali del quadrispigolo indicato e nella curva di 3° ordine del piano « 

 che è la jacobiana della rete di coniche sezioni di oa con la rete R. 



« Questa ultima linea y 3 contiene i tre vertici diversi da 0 del tetraedro 

 autoreciproco rispetto alla quadriche di un qualsiasi fascio della R, sicché 

 la congruenza costituita dalle generatrici dei coni non degeneri della rete ri- 

 sulta una Q 3 , 6 che ha per linea singolare la y a . 



« Ma se il punto 0 ed il piano w si appartengono, se cioè le quadriche 

 della rete R hanno in comune i punti 0, Pi , ... P 4 ed il piano tangente m 

 nel primo di essi, allora in ogni fascio della R due coni coincidono ed hanno 

 il vertice in 0, mentre gli altri due hanno i vertici sulla jacobiana della 

 rete di sezione del piano co con la R, la quale cm-va è una C 3 = O' 2 T, ... T 6 , 

 avendo indicato con T ; la traccia su e» di una congiungente due dei punti 

 Pii w P^; sicché la congruenza dei coni non degeneri della rete si spezza 

 nella stella di raggi (0) ed in una congruenza Q 2 . 6 avente per linea singo- 

 lare la C 3 ora indicata, e per punti singolari i punti Pj , ... P 4 da ognuno 

 dei quali la C 3 viene proiettata secondo un cono appartenente alla congruenza, 

 la quale perciò contiene i sei spigoli del tetraedro Pi ... P 4 . Di più la Q 2 , 6 

 contiene anche il fascio di raggi (0 — «). 



« E può affermarsi che: 



« I coni che passano per cinque punti arbitrari 0, Pi , ... P 4 dello spazio 

 e toccano nel primo di essi un piano dato ui, costituiscono una congruenza Q 

 di 2° ordine e di 6 a classe avente per linea singolare la cubica C 3 del 

 piano o) che ha in 0 un punto doppio e si appoggia alle congiungenti a 

 due a due i punti Pi , ... P 4 . 



« Per queste congiungenti e per la C 3 passa una superficie di 3° ordine <P :i 

 che ha in Pi , ... P 4 dei punti doppi e che è tangente in 0 al piano w. Es- 

 sendo tale superficie correlativa nello spazio alla superficie di Steiner, il cono 

 circoscritto ad essa avente per vertice un qualunque suo punto P, si spezza in 

 due coni quadrici aventi in comune le rette PPj , .... PP 4 , sicché se il punto P 

 è sulla C 3 ora indicata, essendovi fra le tangenti alla <P 3 che passano per 

 P, la retta PO, uno dei coni accennati è il cono della congruenza Q 2 , 6 di ver- 

 tice P, e quindi la superficie focale della congruenza si spezza nel piano w 

 e nella <t> 3 = (P 1 ... P 4 ) 2 C 3 ora ottenuta. 



« Inversamente si ha che ,le tangenti ad una superficie di 3° ordine. 



