mediata conseguenza quello del sig. Tchebicheff: sei, ]h , fi, ecc., sono 

 i valori di snelle successive soluzioni intere e positive del- 

 l'equazione x" 1 — Dy 2 — 1 , la serie dei numeri 



a 1 / N(^-hl) 1 / N( 7?8 + 1) / NQj 3 -+-l) 

 ]/' 21) ]/ 2D ]/ 2D 



(a) 



separa le soluzioni intere e positive dell' equazione 



z 2 — Df = — N 



per modo, che il numero delle soluzioni comprese fra due 

 termini consecutivi della serie è costante. 



« Ora, avendo il sig. Tchebicheff altresì dimostrato ( ! ) che l'equazione 



x 1 — B f- = N , 

 se risolubile, ammette qualche soluzione fra 0 e 



V 



2D 



e non risultando dal contenuto del citato mio lavoro un teorema più gene- 

 rale anche su questo proposito, mi propongo di trovarlo con questa Nota, 

 dimostrando che : la serie dei numeri 



0 / N(^-l) / N (p, — l) 

 ' y 2D [/ 2D y 2D 



separa le soluzioni intere e positive dell'equazione 



x 1 — D?j 2 — N 



per modo, che il numero delle soluzioni comprese fra due 

 termini consecutivi della serie è costante ( 2 ). 



(1) L. c. 



( 2 ) La seguente interpretazione geometrica, che per brevità è solo accennata, pone in 

 nuova ed ottima luce i due teoremi così generalizzati, mostrandone vie' meglio l' indole e 

 l' importanza. S' immagini un sistema di coordinate Cartesiane rettangolari x ed y, e, 

 mediante parallele agli assi delle coordinate, diviso il piano in quadrati di lato eguale 

 all'unità. Si riguardi inoltre ogni nodo della rete dei quadrati come affetto da un indice 

 intero, eguale al valore che le coordinate del nodo medesimo conferiscono alla forma 

 x 2 — Dy 2 . Dei quattro angoli formati dalle rette x 2 — Dy 2 = 0, i due acuti saranno il 

 campo dei nodi positivi, affetti cioè da indice positivo, e i due ottusi saranno il campo 

 dei nodi negativi. — Ciò premesso, si considerino le sostituzioni lineari improprie che 

 trasformano in sè medesima la forma x 2 — Dy 2 . Ognuna di tali sostituzioni determinerà una 

 trasformazione lineare involutoria del piano, per la quale ad un punto (x, y) corrisponderà 

 un punto (x/ y') e a questo il primo, mediante le formole 



X = ax' — D/Jjì/' 

 y'== fx' — ccy' ; 



significando a e £ due interi, positivi o negativi, che soddisfanno la condizione « 2 — D^ 2 =l. 

 Se nelle precedenti formole si pone x = x' ed y = y', si trova che delle due equazioni 

 risultanti l'ima è conseguenza dell'altra; e che perciò ciascuna delle considerate trasfor- 



