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« 1. Risulta dalla ricordata mia Nota che il numero delle soluzioni del- 

 l'equazione x 2 — T)y 2 —- N comprese fra due termini consecutivi della serie 



0, g,\ f/N , q 3 j/N, •••• (1) 



è costante ( 1 ). 



« Confrontando la precedente serie con l'altra 



/N(^-l) /N(y 2 -1) ./ NQ»— 1) , 

 U ' (/ 2D (/ 2D |/ 2D W 



è facile verificare che i termini della prima sono ordinatamente eguali ai suc- 

 cessivi termini di posto dispari della seconda : che cioè 



Infatti, per un teorema noto, 



Ihs + q*s fD = (Ih ~h qi t/D) 2s = (p s + q s \f^f = 2D? S 2 + 1 + 2p s q s |/D 

 e conseguentemente 



p 2s =--- 2D ?S 2 + 1 ; 



« Considerando ora un numero dispari di termini della (b) incominciando 

 da 0, si supponga dimostrato che tante soluzioni sono comprese fra il primo 

 termine e il medio, quante fra questo e l'ultimo. Potrà inferirsene senz'altro 

 il teorema che è l'oggetto di questa Nota : che cioè il numero delle solu- 



mazioni lineari ammette una retta, luogo dei punti che si trasformano in sè medesimi. Tale 

 retta, che può chiamarsi asse della trasformazione o della sostituzione, passa per l'origine 

 delle coordinate ed ha per equazione 



H _ ? 



X C4-+-1 



Ecco pertanto come possono enunciarsi i due teoremi di Tchebicheff generalizzati: Gli 

 assi delle sostituzioni lineari improprie per le quali x 2 — Dy 2 torna in sè 

 medesima, dividono il campo dei nodi positivi di questa forma in settori 

 angolari, col centro nel centro del campo: e in modo, che dentro ciascun 

 settore, l'indice di qualsivoglia nodo positivo è contenuto lo stesso nu- 

 mero (finito) di volte. — Nella stessa maniera si diportano gli assi delle 

 sopraddette sostituzioni, per rispetto al campo dei nodi negativi della 

 forma x 2 — D?/ 2 . 



(!) Veramente, secondo la mia Nota, si dovrebbe escludere la limitazione superiore 

 dai possibili valori di y, anche quando N fosse quadrato perfetto. Ma è evidente che il 

 teorema sussiste, anche comprendendo tale limitazione : e che il numero costante relativo 

 a questo caso si ottiene aggiungendo una unità a quello che è relativo al primo caso. 



