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zioni comprese fra due termini consecutivi della (b) è costante. Infatti, nel- 

 l'ammessa ipotesi, tante soluzioni saranno comprese fra 0 e 



> / N (?) ? „h-1) 

 \ ' 2D 



quante fra questa limitazione e 



1 / N ( p im _ t — 1 ) 



tante cioè fra il primo e il terzo termine della serie di cinque termini 



. / N (ff 2OT - 2 — 1) 1 /N ( / ^-.^ì) ^ / N ( j? m — 1 ) / Nl> 4ffl _ 2 — 1) 

 °' ]/ 2D (/ 2D 'V 2D (/ 2D ' 



quante fra il terzo e il quinto. D'altra parte la serie di cinque termini scritta 

 qui sopra è uguale a quest'altra : 



0, ^_,l/N, j/ ^sp" 1 * , q m 0, ry^j/N; 



e di più tante soluzioni sono fra 0 e q m -i j/N quante fra q m j/N e q 2m -i f/N 

 (come facilmente si vede, ricordando che è costante il numero delle soluzioni 

 comprese fra due termini consecutivi della (1) ). Perciò è chiaro che il nu- 

 mero delle soluzioni comprese fra il secondo e il terzo termine dell'una o 

 dell'altra delle precedenti due serie di cinque termini, dovrà essere uguale a 

 quello delle soluzioni fra il terzo e il quarto. — Ponendo consecutivamente 

 m = l, 2,... e per ciascun valore dato ad m applicando quest'ultima con- 

 clusione, si ottiene il teorema che si deve dimostrare. 



» 2. Rimane a dimostrarsi l' ipotesi ammessa finora, che cioè, conside- 

 rando un numero dispari di termini della (b) incominciando da 0, il numero 

 delle soluzioni comprese fra il primo termine e il medio è uguale a quello delle 

 soluzioni fra il medio e l'ultimo. 



» Sia 



X 2D 



il termine della (b) che si considera come medio fra 0 e un altro termine. 

 Quest' altro termine sarà 



« Usando le forinole di Eulero 



y' 0 == q n x a —Pnì/o 

 x\ == f n x 0 — Bq n ?j 0 



