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da una soluzione (x 0 , #%) dell'equazione x 2 — Dy 2 = N se ne deriva un'altra 

 (#'0 , y'o)- Da esse si ricava 



i/o — tfri X 0 j^rt ?/'o 



X 0 f= ^ii <£' 0 n y b '■> 



il che mostra che le dette forinole sono inverse di sè stesse, epperò stabili- 

 scono fra le soluzioni dell'equazione x 2 — Dy 2 — N una corrispondenza invo- 

 lutoria. Tale corrispondenza sussiste altresì fra le soluzioni 

 intere epositive, entro i limiti 0 e q n j/N della y : ossia è tale 

 che, se (x 0 , yo) è soluzione dell'equazione in numeri interi e positivi, dei 

 quali 7/ 0 .< y n J N, (x'o,,y'o) è una soluzione altrettale dell'equazione mede- 

 sima, e reciprocamente. — Supponendo infatti che x 0 ed y 0 sieno positive 

 ed i/o — q n ] N , si verifica facilmente che x 0 ~p n f^' e poi, che 



q>i ^ j?n yo ; Pn Xo ^- Vq n y 0 ; 

 ossia y' 0 >. 0 ; «r' 0 .>0. — Che poi // 0 non superi ^JN, che cioè 



q n Xo—p,x yo^-'/nl/N, 

 risulta dal seguente calcolo : 



(x 0 — t/N) Cfo + 1 N)^-Dy 0 2 

 e conseguentemente, riguardando anche il caso y 0 = 0 ed # 0 = |/N , 



A" 0 — j/N <. y 0 1 / D . 



« Ora 



— Dy„ 2 = 1 



epperò 



q n j/i) • 



« Moltiplicando fra loro le due ultime disuguaglianze e semplificando, 



viene 



q,i (za — | 7 N) s^p n y 0 



ossia 



« 3. Accade poi che, se una delle due soluzioni coniugate 

 (<^o j i/o), (^'0 , y'o) è compresa fra le limitazioni 



l'altra è compresa fra le limitazioni 



e reciprocamente. Per dimostrarlo, basterà provare che due soluzioni 

 coniugate disuguali non possono essere tutte e due comprese fra le prime li- 



Rendiconti. 1892, Yol. I, 2° Sem. 12 



