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ed altre due equazioni analoghe per V, W. A cagione delle (2) avremo dunque: 



(D, 8 — b 2 J,)P = 0 

 (D t 2 — a 2 J 2 )XJ = 0 , (T> t 2 — a 2 J. 2 )Y = Q, (D f 2 — a 2 J 2 ) W = 0. 



D'altra parte tutte la volte che queste equazioni sono soddisfatte, le (5) danno 

 degli integrali delle equazioni (1); perciò, ammesse le condizioni (3), abbiamo 

 il teorema di Clebsch : 



« Le soluzioni più generali delle equazioni (1) sono date 

 dalle espressioni (5), dove P è una soluzione dell'equazione: 



(D t 2 _ $i ,/ 2 ) P = o 



ed TJ, V, W sono soluzioni dell'equazione: 



(Dr — a 2 J 2 ) <p = 0. 



« Non è difficile ora liberarci dalla restrizione portata dalle (3). Suppo- 

 niamo infatti che queste condizioni non siano più soddisfatte ; ed indichiamo con 



( /o ^ i valori, per t=t 0 , di una funzione qualunque q e della sua deri- 



'ì><Po 

 Dt 



vata rispetto al tempo; inoltre poniamo 



9>o = <po + (t — /o) — • 



« È chiaro che integrando due volte fra t 0 e t le equazioni (1), invece 

 di ottenere le (5), avremo 



u — U Q t = 

 6) v - v* = 



w — to 0 * = 



dove P, U, V, W sono ancora le stesse funzioni definite dalle (4). Per tro- 

 vare le equazioni a cui ora soddisfanno queste funzioni, osserviamo che si ha 





W 











UE. _ 













1? 









~ày 



"òse 



quindi, per le (2). 



7) (I) ( 2 — b 2 M)P = b 2 e 0 * CD l 2 — a 2 J 2 )\J = a 2 ^ 



ed altre due equazioni analoghe per V, W. 



« Ora è noto che una terna di funzioni di x, y, s come u 0 , v 0 , W 0 , 

 oppure le loro derivate rispetto al tempo, può sempre essere rappresentata 

 con espressioni analoghe ai secondi membri delle (5), colla condizione inoltre 



