— + — -f- ^— ■ — 0 per la terna U, V, W ('). Noi potremo quindi porre: 



Da- Itj Ds * v 







DW' 





1)2 



ìy 





W 



w 









>p' 







ii 







8) 



colla condizione 



TiU' 7>V W' 



e le funzioni P', U', V, W, al pari dei primi membri, saranno funzioni 

 lineari del tempo. 



« Se ora poniamo : 



P = P -r- P' 



u = u + u' v = y + v w, = w + w' 



le (6) divengono : 



9) v = 

 io = 



e dalle (8) si ha: 



(D t 2 — b* J 2 ) F= — è 2 e 0 * (Di 2 — a 2 ^/ 2 ) U' = — « 2 

 ed altre due equazioni analoghe per V, W ; per cui, sommando colle (7), 

 troviamo : 



(D, 2 — b*J 2 ) P == 0 



10) (D ( 2 — a 2 ^ 2 )U = 0 (D ; 2 — a-J 2 )V = 0 (D t - — a 2 J 2 )W = 0. 



« Il teorema di Clebsch resta così dimostrato senza alcuna restrizione, 

 u Le funzioni U, V, W, essendo : 



2E + 2l + ^w o, 



soddisfanno anche alla relazione : 



^P 













DP 







= f- 







7>P 













è 2 <9 0 * 



(Di 2 



— a' 



io') H + 2I + 2W 



7 ' ^ Di/ 



(') Una dimostrazione generale di questo teorema si può vedere in: Lipschitz, Bei- 

 trag zur Theorie der linearen partiellen Differentialgleìchungen, Borchardt's Journal, 

 Bd. LXIX; e del resto è facile rendersene ragione con considerazioni assai semplici. V. ad es. 

 Picard, Trai té d'analyse, T. I, pag. 177 Paris. 1891. 



