« Sommando le (17) (17') troviamo che la funzione <p è un integrale 

 dell'equazione : 



18) (D ( - — a~ J 2 ) (D« 2 — b 2 4%) f=0, 



a cui naturalmente soddisfanno anche le ip, %. D'altra parte le formole (16) 

 danno sempre delle soluzioni delle equazioni del movimento, purché le y>, ip, x 

 siano soluzioni della (18); vediamo quindi che le (16) forniscono una rap- 

 presentazione generale delle soluzioni delle equazioni (1). 



« Di questa soluzione si è servito Cauchy per ottenere gli integrali gene- 

 rali delle equazioni del movimento, quando sono dati i valori iniziali degli 

 spostamenti e delle velocità. Alla forma (16) degli integrali porta appunto 

 il procedimento generale di Cauchy per la formazione degli integrali di un 

 sistema qualsiasi di equazioni lineari, omogenee, a coefficienti costanti me- 

 diante integrali della così detta equazione caratteristica, rappresentata nel 

 nostro caso dalla (18) ('). 



« Delle (16) si vale pure Weierstrass, in alcune considerazioni pubbli- 

 cate dalla KowalevsM ( 2 ), per stabilire un metodo generale d' integrazione 

 delle equazioni del movimento. 



« § 3. Il procedimento, che ci ha servito nel § 1 per arrivare al teorema 

 di Clebsch, può essere applicato anche ad equazioni più generali delle (1). 

 Se supponiamo che il mezzo oscillante, anziché essere isotropo, sia il cosidetto 

 mezzo di Green, le equazioni del movimento sono: 



~ìt°- 



— - A' 



ove A, a, b, c sono costanti. Le 0, £. r>, f soddisfanno in questo caso alle 

 equazioni : 



(Dr — A 2 J 2 )0 = 0 



l)(J> ~ò<I> 



(Dr-^ 2 H+~=0, (Df—b^Jz) rj-+-'^—-=0 , (D ( 2 — r 2 ./ 2 )C+^-=0 



ove si è posto: 





^ 2 -- 





Dx 



~ì)Z 



e — 









1 



-c 2 — — 



a 1 — 





~òX 



iz 



ne 



-a 2 — — 



ty 





■ — i 



1>Z 



~vX 



(') Vedi particolarmente: Cauchy, Mémoire sur la trans format io n et la réduction 

 des intégrales rjénérales d'un sistème d'équations linéaires aux différences partielles, §5. 

 Exercices d'Analyse et de Pliysique mathématique, T. I. Paris 1840. 



( 2 ) Kowalevski, Ueber die Brechung des Lichtes in cristallinischen Mitteln, Acta 

 mathematica, VI, pg. 249. 1885. 



