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Matematica. — Sulla trasformazione di Bàcklund pei si- 

 stemi tripli ortogonali pseudosferici. Nota del Corrispondente Luigi 

 Bianchi. 



• « Come già ho accennato alla fine della Nota precedente ( 1 ), il teorema 

 di permutabilità delle trasformazioni di Bàcklund, con tutte le sue conse- 

 guenze, vale non solo per le superficie pseudosferiche isolate, ma ben anche 

 per quei sistemi tripli ortogonali che contengono una serie di superficie pseu- 

 dosferiche, sia la curvatura di queste superficie una costante assoluta (sistemi 

 di Weingarten) ovvero variabile colla superficie. Basterà qui che ci tratte- 

 niamo sulla dimostrazione del teorema di permutabilità, riferendoci per la 

 deduzione degli importanti corollari alla Nota antecedente. 



I. 



Forinole per la trasformazione di Bàcklund. 



« Esprimendo le coordinate Cartesiane ortogonali x, y, s di un punto 

 mobile nello spazio in funzione dei parametri u, v, w di un sistema triplo 

 ortogonale pseudosferico, in cui le superficie w = cost te siano a curvatura 



costante — ^r, essendo ~R(tv) funzione di w soltanto, l'elemento lineare dello 

 sx 



spazio prende, come è noto, la forma ( 2 ). 



(1) dx 2 -4- dy- -f- dz 2 = cos 2 co du* -f- sen 2 co dv 2 -f- R 2 (^~^ dio 2 . 



« Secondo i risultati della Nota ora citata, possiamo dedurre da questo 

 sistema 2 , per mezzo della trasformazione di Bàcklund, nuovi sistemi della 

 stessa specie. Indicando perciò con k una costante arbitraria e ponendo 



k 



coso - = — , 



si determini la funzione co' di % v, 10 dal sistema illimitatamente integrabile 



sen«' cosa) -h senff coso/ seno? 



(2) 





4_ ^ w 



~ÒU 





1)0) 



liCO 



IV 



Ili 





~ÒO)' 



sen? 



~ h 





1)10 



k 



coso/ seno) -h seno - seno)' coso) 



" k 



la , coso)' D 2 oj , seno)' i 2 co 



— + k h k = 0 , 



lw cos» ~òul)io sena) ivlio 



(1) Questi Rendiconti 3 luglio 1892. 



( 2 ) Vedi la mia Nota nei Rendiconti dell'Accademia 3 gennaio 1886. 



