z 



div 2 



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che ammette una soluzione co', contenente (oltre k) una costante arbitraria ; 

 il sistema derivato 2' risulterà allora definito dalle forinole 

 ( x = x -f- k (coso/ X! + seno/ X 2 ) 



(3) - y' =y + k (coso/ Y t -4- sene-/ Y 2 ) 

 | / =z -\-k (coso/ Z! -h seno/ Z 2 ) , 



in cui (X x , Ti, Zj), (X 2 , T 2 , Z 2 ) , (X 3 , Y 3 , Z 3 ) denotano i coseni di direzione 

 delle rispettive normali alle superficie u, v, w del sistema 2. Diremo che il 

 sistema 2' è derivato da 2 per mezzo di una trasformazione di Bàcklund B/ f . 

 Indicando coli' accento le quantità che per 2' sono le analoghe di Xi , X 2 , X 3 

 importa osservare le forinole : 



X'i == (coso/ coso) — sene seno/ seno)) Xi + (seno/ coso) + 

 4- seno" coso/ seno)) X 2 4- coso' seno) X 3 



(4) l X' 2 = (coso/ seno) 4- seno seno/ coso)) X x 4- (seno/ seno) — 



— seno - coso;' coso)) X 2 — coscr coso; X 3 



X' 3 == — cos<r seno/ Xi -t- coso" coso)' X 2 — sene X 3 

 che sussistono colle analoghe in Y, Z. Dalle (3) risulta inoltre 



(5) dx' 2 H- dy' 2 4- dz' 2 == cosV dit 2 4- sen 2 o)' ài? 4- R 2 {^) 



II. 



Teorema di permutabilità. 



k Se 2 r , 2" sono due sistemi tripli ortogonali pseudosfe- 

 rici legati al medesimo sistema 2 da due trasformazioni di 

 Bàcklund B ft ,B ft - a costanti k, k' diverse, esiste un quarto si- 

 stema pseudosferico 2"' legato rispettivamente a 2', 2" da 

 trasformazioni di Bàcklund BV, B', ( colle costanti invertite k\ k. 



« Per dimostrarlo scriviamo le forinole del § precedente applicate ai due 

 sistemi derivati 2', 2", ponendo 



k k' 

 cose - - , coso' = — ; 



li R 



avremo così 



x = x 4- R coso (coso/ X 1 4-seno/ X 2 ) 

 x" = x 4- R coso' (coso)" Xi 4- seno/' X 2 ) 

 colle analoghe per y, s, ove tra (o/, w). (co", a) sussistono le rispettive re- 

 lazioni : 



"W ~ò(o seno/ coso) -4- seno coso)' seno) 



~èu ~òv R coso 



, lieo' Doj coso)' seno) + seno seno)' coso) 



(6) 



~òv ~òu R coso 



1)0)' ~5o) „ coso)' i 2 o) _ seno)' ~ò 2 o) 

 seno — 4- — -h R cose 4- R coso 



~òw ~òw coso) lulio seno; ~òv~òw 



Rendiconti. 1892, Vol. I ; '2° Sem. 21 



