"Tjw ' ~òo) senw cosw -h sene cosw senw 



(8) 



~òu ~iv R cose' 



Dw" Iioì cos w"sen w -f- sene' seno/' cos w 



Tiy 7w ~ Il cos e' 



, >/' 7)w -r, , coso/' ~? 2 w , senw" 7> 2 w 



sena + — ■ -f- R cose h Rcose = 0 



~òio ~òw cosw DwDzy senw Tw/jw 



« Se il quarto sistema 2"' esiste effettivamente, come viene asserito dal 

 teorema, indicando con tre apici le quantità ad esso relative, dovranno in- 

 sieme sussistere le equazioni 



i se'" = j/ + Rcose' (cosw'" X'x + senw'" X' 2 ) 

 \ x'" = x" + Rcose (cosw'" X", + senw'" X" 2 ) 



colle analoghe in y, s. Se in queste per X\ , X' 2 sostituiamo i valori (4) 

 e per X'\ , X" 2 le espressioni analoghe, dal paragone dei due valori di se"' 

 deduciamo le due equazioni: 



cosw' j^cose + cose' cos (co'" — w)^j -r- cose' sene senw' sen (w'" — w) — 



— cosw" Rcoscr' -f- cose cos(w'" — w)J -f- cose sene' senw" sen(w"' — w) 



senw'jjjose -h cose' cos (w'" — w)j — cose' sene cosw' sen (w'" — w) = 



= senw" [^cose' -4- cose cos(w"' — w)J — cose sene' cosw" sen(w"' — w) 



« Moltiplicando queste una prima volta rispettivamente per cosw', senw'. 

 una seconda volta per cosw" , senw" ed ogni volta sommando, indi risolvendo 

 rapporto a sen (w'" — w), cos (w'" — w), otteniamo le due forinole della pre- 

 cedente Nota 



( , ... , (sene — sene') sen (w" — co') 



[ Sen (W W) = : 7—77 77 : - 



1 cose cose cos (w — w ) -+- sene seni — 1 



) , ,„ , cos t cose' -h (sene sene' — l)cos(w" — &/) 



f COS (w — w) = ; ^— — 77 77 ; 7^ 



V cose cose cos (w - — w ) -+- sene sene — 1 , 



alle quali possiamo nuovamente sostituire l'equazione equivalente 



<e-> ^(^h^^H^-)- 



« Poiché adunque, se il 4° sistema 2"' esiste, esso è determinato da 

 quest'ultima equazione, resterà soltanto a verificare su questa equazione le pro- 

 prietà asserite nel teorema ( l ). 



f 1 ) Le equazioni (8) (8*) coincidono perfettamente colle analoghe della Nota prece- 

 dente. Se osserviamo che quattro superficie pseudosferiche corrispondenti nei quattro si- 

 stemi 2, 2', 2", 2"' debbono trovarsi appunto nelle relazioni enunciate dal teorema di 

 permutabilità (ibid., § II), vediamo a 'priori la ragione di questo fatto. Partendo da questa 

 osservazione, si potrebbero senz'altro scrivere le (8) (8*). 



