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III. 



Verifica. 



« Possiamo conseguire lo scopo proposto in due modi diversi, cioè di- 

 rettamente ovvero appoggiandoci ai risultati della Nota precedente. 



« Nel primo modo dobbiamo dimostrare che la funzione to'" definita 

 dalle (8) (8*) è legata ad co' dalle equazioni differenziali 



7k»'" ~òoì' sen a)'" cos to' -+- sen cr' cos co!" sen or 



R cos cr' 



~. tir i 

 JOÌ t)M 



"5?; 1 ~òu R cos cr' 



/ , >/" lo/ _ . r cos oì'" y co ,sen o"' 7> 2 fa' 



| sen a h -H R cos cr ; -j-R cos o r ■ =0 



\ ~òw Isw cos co ~òu ~òw sen <w 7>y 7>ft> 



e ad co" dalle equazioni analoghe : 



/ ~òoì'" ~ò(o" sen oì'" cos w" -+- sen cr cos &/" sen «" 



(fi) 



~òu ~ÒV R COS cr 



"So/" Tic/' _ cos oì'" sen co" -4- sen cr sen oì'" cos co" 



~?y 7w R cos cr 



>/" >/' T> cose/" ^o/' ■ sen*/" -Va/' i 



seno" h +R coscr - hReoscr — 0. 



"7»y cos ai ìu ~òio sen co Dy ì?y 



« Ora derivando la (8*) successivamente rapporto a w, y, jy osservando 

 le (8) (7) (7 A ), nonché le equazioni che seguono da queste ultime per deri- 

 vazione, si trova facilmente che le (a) (/?) sono identicamente verificate. 



« In altro modo perveniamo al risultato stesso osservando che, pei teo- 

 remi della Nota precedente, la forinola (8*) fa corrispondere ad ogni terna 

 di superficie pseudosferiche corrispondenti S, S', S" nei sistemi 2, 2', 2" 

 una quarta superficie pseudosferica S'" legata rispettivamente a S', S" da due 

 trasformazioni di Backlund a costanti //, k. 



« Per provare poi che la serie di superfìcie S'" appartiene ad un sistema 

 triplo ortogonale, osserviamo che se P, P', P", P"' sono quattro punti cor- 

 rispondenti sopra S, S', S", S'" e a P facciamo descrivere una delle curve C 

 traiettorie ortogonali delle S nel sistemai, contemporaneamente P', P" de- 

 scriveranno due curve C, C" traiettorie ortogonali delle rispettive serie S', S". 

 Indicando con C" la curva descritta da P"\ basta ora osservare che i seg- 

 menti P' P'", P" P'" sono costanti e normali a C, C" per dedurne che essi 

 sono perpendicolari in P'" alla curva C" ; ma questi segmenti giacciono nel 

 piano tangente a S'" in P'", quindi le curve C" sono traiettorie ortogonali 

 delle superficie pseudosferiche B'". Se in fine ricordiamo che la trasforma- 



