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« Affinchè l' integrale (I) sia finito, supporremo che la funzione arbitra- 

 ria f(l) per valori dell'argomento superiori ad un certo limite, si annulli, 

 mentre, affinchè l'integrale (II) sia finito ammetteremo che f{l) si annulli 

 per valori dell'argomento inferiori ad un certo limite. Gli integrali (IH') 

 e (IV) non sono altro che quelli dati da Poisson ( 1 ). 



« È facile dimostrare che se f è una funzione regolare, l' integrale V 3 

 è pure regolare, mentre gli integrali V! , V 2 , V 4 si conservano regolari pei 

 valori di r diversi da zero, e si ha 



lini 



^(iè- v <) =ir/ ® • »?i r ^h 



« 4. Ciò premesso indichiamo succintamente la via che può seguirsi per 

 stabilire le formule a cui alludevamo precedentemente 



« Siano xp (x, y, t) , % (x, y, t) due integrali della (1') regolari entro un 

 campo e a due dimensioni limitato da un contorno s. Per il lemma di 

 Green avremo 



essendo n la normale ad 5 diretta verso l' interno di <r. Prendiamo / = V x , 

 in cui r denota la distanza contata da un punto x, y, fisso nell' interno di cs. 

 Onde poter applicare l'equazione precedente, bisognerà escludere il punto x, y 

 ove Vi cessa di esser regolare. Questa esclusione potrà farsi mediante un pic- 

 colo cerchio col centro nel punto stesso. Facendo decrescere indefinitamente 

 il raggio di questo cerchio, otterremo al limite 



« Si supponga ora che la funzione ip si annulli in tutti i punti del 

 campo e per valori di t inferiori ad un certo limite. Per l'ipotesi fatta circa 

 f (/), avremo che Vi si annullerà per valori di t superiori ad un certo limite; 

 quindi moltiplicando l'equazione precedente per dt e integrando fra — oo e oo, 

 otterremo 



xp (x, y, t) f(t) dt -±-jdtJ(^ V> - ip) ds = 0. 



I, 1 ) Journal de l'École Polyteclinique, XIX, Cahier. 



