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« Da quest'ultima equazione si ottengono i valori dei coefficienti di U 

 e quello di k\ quest'ultimo sarà dato evidentemente da una equazione del 



grado — — ■ 



« Pei casi di v == 1, 3, 5 si avranno : 



t = 0 t 2 = }g 2 , t 3 — 7g 2 t + 20g 3 = 0. 



« 4.° Una speciale proprietà degli integrali y x , tj 2 dell'equazione differen- 

 ziale (1) rilevasi dalle seguenti considerazioni. Sia /"(yi,y 2 ) una forma bi- 

 quadratica a coefficienti costanti, e supposto sostituiti in essa per y.i,y s i 

 loro valori, sarà : 



f (Ufi . y*) = * 00 



essendo 2 un polinomio in s, il quale, come è noto, deve soddisfare ad una 

 equazione differenziale lineare del quinto ordine. Questa equazione è la 

 seguente : 



SPV + òg><p's™ + 5 [| g>' 2 + 4 (6s — V) y] *"' + 

 + 5 [6(2 — y')9> + 6(3s — V) ?']*" + 



+ [6 (3 — 4i//) y/ + 48s(3s — 5ì/0 + 64(/' 2 ] /+16y/ (4</> — 3s)*=0 

 nella quale : 



« Posto : 



v— 1 ^—3 

 5 = S 2 -f- 0,1 S 2 -J f" 



2 



r 4- 3 



la equazione superiore dà — ~J* ■ relazioni, ma il coefficiente della più alta 



Là 



potenza di s essendo eguale a zero riduconsi a - ' ■ , cioè sufficienti a de- 



a 



terminare i valori di ai, a 2 ... e di t. 



2 



« Per v — 1 si ha 2 = 1 , t = 0 ; per v = 2 si ha s = s — | £ , e 

 t 2 = }gz; per v = 3 si ottiene « = s 2 — * s -f ^ (23^ 2 — 8 1 g 2 ) e 

 / 3 — 7^^ + 20^3 = 0 *. 



