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perciò al sistema (h*), e si può quindi dire: Le cubiche degli 11 si- 

 stemi (hft) sono le cubiche che le quadriche dei fasci 



hanno ulteriormente a comune colla superficie. 



« Da ciò segue allora che una qualunque delle cubiche dei 

 primi 7 sistemi si appoggia, oltre che nel punto triplo, in 

 altri 4 punti alla cubica doppia; mentre che le cubiche de- 

 gli altri 4 sistemi si appoggiano a questa curva in 5 punti, 

 distinti dal punto triplo. 



« 4. Consideriamo uno (y* -h b k ) dei primi 7 fasci, ed in questo una 

 quadrica F ft 2 e la corrispondente cubica f k 3 . Proiettando /V 3 da P si ha un 

 cono quadrico P ft 2 , il quale ha ulteriormente a comune con F ;i 2 ima retta 

 uscente da P, e precisamente quella k di F s 2 che appartiene al sistema op- 

 posto a quello cui appartiene b ì: . Di coni P ft 2 ve ne sono tanti quante sono 

 le quadriche F& 2 : è facile però di riconoscere che tutti questi coni sono in 

 un sistema di indice h, dove li è la soluzione dell'equazione 2h — <s = 3. 

 e essendo l'ordine del luogo descritto dalla retta k. In fatti, prendendo un 

 punto M su una retta arbitraria r, per esso passano h coni del sistema, ep- 

 però si hanno altrettante quadriche corrispondenti F ft 2 , e quindi anche altret- 

 tante coppie di punti Mi M'i , ... , M ft M' ft su r. Viceversa, dato un punto di una 

 di queste coppie, per esso passa una sola quadrica F 7; 2 , epperò si ha corrispon- 

 dentemente un sol cono del sistema ed una sola coppia di punti MM'. Su r 

 si ha dunque una corrispondenza (2, 2 li) i cui punti uniti sono quelli in 

 cui r taglia la superficie, ed anche, fra essi, quelli in cui r taglia il luogo 

 delle rette k; ma la superficie è del 5° ordine, dunque si deve avere 



cioè precisamente 2h — a = 3. Ora il luogo delle rette k è il piano ~Pb k , 

 perchè £> s sta su tutte le F ft 2 del fascio; perciò è c = l, e quindi fi = 2- 

 Supponendo che k percorra i numeri 1 , ... , 7 si ha il risultato seguente: 



«Vi sono sette modi diversi di generare la superficie 

 per mezzo di un fascio di quadriche con base decomposta ed 

 un sistema, d'indice 2, di coni quadratici in corrispondenza 

 univoca. 



« 5. Consideriamo ora una (y< 3 -f- a k ) degli altri 4 fasci di cui sopra, 

 ed in esso una quadrica F ft 2 ; consideriamo la cubica /V ulteriore sezione 

 di F; £ 2 colla superficie ed il cono cubico P ft 3 (razionale) che la proietta da P. 

 Al variare di F fc 2 questo cono cubico descrive un sistema d' indice 2, poiché, 

 ragionando come nel numero 4, su una retta arbitraria r, si viene ad avere 

 una corrispondenza (3, 2h) i cui punti uniti sono i punti d' incontro di r con 



2 -f- 2h — a = 5 , 



