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la superficie, e col luogo, contato due volte, delle generatrici doppie dei coni 

 P ft 3 . Ora questo luogo è il piano di a k e della tangente a <p 3 in P ; quindi h, 

 indice del sistema descritto da P ft 3 , deve soddisfare all'equazione 



3 -h 2h — 2 = 5 , 



epperò deve essere h = 2. Facendo k= 1 , ... , 4 si ha quest'altro risultato: 

 « Vi sono 4 modi diversi di generare la superficie per 

 mezzo di un fascio di quadriche con base decomposta, ed un 

 sistema, d'indice 2, di coni cubici razionali in corrispondenza 

 univoca. 



» 6. I due teoremi precedenti mostrano che la superficie <P P si presenta 

 come caso di degenerazione delle superficie del 6° e del 7° ordine, le cui equa- 

 zioni vengono formate come segue. 



« Si dicano 



SPi(&»&. &) = <>> 9> 2 &.&) = <>, M8i>&iW=G 

 tre forme arbitrarie di grado i (= 2, 3) negli invarianti $i , g 2 , 5> 3 ed 



A (#i , ••• , x 4 )==.0, A (^ì , ... , ^ 4 ) = 0 

 due forme quadratiche arbitrarie nelle coordinate di un punto. 



Si formi il sistema, d'indice 2, 



A 2 . g>, -f- 2X[i.(p 2 -f- /i 2 . (f 3 — 0 («) 



ed il fascio 



Vi -+- mA = 0 ; (/?) 



per eliminazione del parametro A:^ si ha l'equazione 



5P, • A 2 — 2y 2 . A A •+ g> 3 . A 2 = 0 00 



che rapp resenta, quando si tengono ferme le & e si identificano le variabili 

 che entrano nelle , $ 2 , Q 3 con le x x , ... , x^, una superficie dell' or- 

 dine i-f-2.2 = i -f- 4 (= 6, 7) con la quartica doppia A = 0, A = 0 

 e col punto i pl ° in f. 



« Se nell'equazione (y) si mantengono ferme le £ dopo averle scambiate 

 con le x, si avrà l'equazione del cono tangente nel punto i pl °. Se dunque 

 le £ si considerano come variabili, la (y) dà insiem emente un sistema di 

 superficie dell'ordine i -h 4 e di coni d'ordine i, che sono fra loro nelle stesse 

 relazioni in cui si trovano le superficie polari congiunte ed i coni polari con- 

 giunti. Possiamo mostrare che una tale relazione non è soltanto apparente 

 poiché ha luogo il teorema : Le superficie date dalla (y) quando si 

 mantengono fisse le £ e variabili le x, ed i coni dati dalla 

 medesima equazione, quando sono, in vece, fisse le x e varia- 

 bili le t, sono superficie polari congiunte e coni congiunti ri- 

 spetto ad un connesso (i, 4) e ad una quadrica. 



