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« In fatti, ricordando le espressioni di Si, $ 2 , $3 e ponendo 7;^=?^ — £ ft #; 

 (ik = 12 , ... , 34) si ha: 



% = v , s* = y (»,«> , ^3 = Z(f V')****; ( ò ) 



cosicché, mutando in (y) le Xi per mezzo della corrispondenza polare rispetto a 



Ì>r = 0 (0 

 1 



dopo di che diremo fi, f 2 ciò che diventano fi, fz', e facendo nelle $pj(?'=l,2,3) 

 le sostituzioni (<f), dopo di che le diremo (p'i, noi avremo l'equazione 



<p\ A' 2 — 2$p\ fi f 2 ' + <p' 3 fP = 0 (/) 

 di un connesso piano-retta (i, 4) che insieme alla quadrica (f) risponde al- 

 l'asserto. 



III. 



Undici connessi rispetto a cui <P r proviene come superficie polare 



congiunta. 



« 8. L'equazione (y) diventa quella di una superficie come la <P P se la 

 quartica f x = 0 , f% = 0 si scinde in una cubica y 3 ed in una corda h di 

 questa ; e poi se sono soddisfatte le seguenti condizioni : 



1° per i = 2 il punto £ deve essere su y 3 senza essere su h, e poi 

 la generatrice della quadrica Xf x -+- \if 2 — 0 di sistema opposto a quello cui 

 appartiene h, e che passa per £, deve essere pure generatrice del cono 

 X 2 g>i -j- 2yp<p 2 ,u 2 (p 3 = 0 ; e ciò qualunque sia X : \i. Allora il primo 

 membro della (y) sarà divisibile per (£h l " h l2) x), dove hi ln , V 2) (i= 1, ... , 4) 

 sono ordinatamente le coordinate dei due punti h.y 3 = H, , H 2 ; ed il quo- 

 ziente uguagliato a zero sarà precisamente l' equazione di una superficie 

 come la <t> r ; 



2° per i = 3, il punto £ deve essere uno dei punti H! , H 2 , ed inoltre 

 le funzioni <p x , y 2 , g>3 devono essere scelte per modo, che detta t la tan- 

 gente a y 3 in £ e % x , % 2 , £3 i valori che Si , S? , Q 3 acquistano per essa 

 si abbia contemporaneamente 



A'^!-2AA* + A'.2| = o 0 = 1,2,3) 



Si % Ss =0 Gu) 



3^1 %3 

 €>1 ^2 £s 



ove è |)j il valore che prende per h V invariante Sz- Allora l'equazione (y) 

 si scinderà nella equazione (^i), contata due volte, ed in una equazione resi- 

 duale che sarà quella di una superficie come la £> P . 



