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I. 



La superficie con cubica doppia decomposta. 



« 1. Una cubica prodotta per corrispondenza proiettiva fra le generatrici 

 di un cono di 2° ordine (P) ed un fascio di piani (b) degenera nei seguenti casi: 



1° quando la generatrice di (P) corrispondente al piano Fb giace in 

 questo piano ; ed allora la cubica si riduce a quella generatrice e ad una 

 conica che, in generale, non passa per P, ma è appoggiata alla generatrice; 



2° quando (P) si spezza in due piani tt ì , tt 2 ; ed allora la cubica si 

 riduce ad una conica che passa per P, giacente in uno di quei piani, ed in 

 una retta dell'altro piano, ma appoggiata alla conica; 



3° quando la conica dei due casi precedenti essa stessa si decompone 

 in due rette ; 



4° quando b passa per P, senza che (P) degeneri, ed allora la cubica 

 si riduce a 3 rette di P; 



5° quando b passa per P e (P) degenera. 



« 2. Cerchiamo come deve essere scelto il polo £; della superficie perchè 

 si verifichiano i precedenti casi di degenerazione della cubica doppia di essa, 

 e quali altre particolarità si presentano. 



« Supponiamo, pel momento, sempre generale la rete Allora avremo: 

 1° Essendo le generatrici di (P) le polari dei punti di b' rispetto al 

 fascio lf -f- pup = 0, ed inoltre, essendo i piani di (b), corrispondenti a quelle 

 generatrici, i piani polari di quegli stessi punti rispetto a xp = 0, la gene- 

 ratrice di (P) corrispondente del piano ~Pb di (b) sarà c. Ora lo stare di c 

 in ~Pb esige che c sia coniugata a tutti i punti di V rispetto alla rete (9?), 

 cioè che e sia una trisecante della N 6 ; epperò che P sia su K 8 . Viceversa, 

 è stato visto (cfr. I n. 6) che per ogni punto preso su E 8 e che non sia su 

 N 6 la cubica <p 3 si decompone. Dunque, noi possiamo dire che i punti P 

 per i quali la superficie <T> P ha una retta doppia per P ed 

 una conica doppia che non passa per P sono i punti della ri- 

 gata E 8 , eccettuato quelli che sono pure punti di N 6 . 



« Si osservi che nel caso in esame la retta doppia della superficie è 

 precisamente la generatrice della rigata E 8 che passa pel pimto triplo, e che 

 essa è pure la generatrice doppia del cono tangente in questo punto. 



2° Il cono (P) essendo il cono del complesso Sì c che ha il vertice 

 in P, si spezza quando P giace in una qualunque delle facce del tetraedro 

 A 1 A2A 3 A, t . Supponendo, p. e., che sia stato preso in A 2 A 3 A 4 = a 1 , il 

 cono (P) si riduce ad a x e ad un piano a" 1 che passa per A x ; a'\ è quello 

 che contiene la conica doppia della superficie ed «i quello che contiene la 

 retta doppia: questa è poi, riportandosi alla costruzione data nella Nota II 

 n. 2", la retta a\ a\ = h x (II, 1). Si può dunque dire: i punti P per i 



