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quali la superficie <P P ha una conica doppia pel punto triplo 

 ed una retta doppia altrove sono i punti delle 4facce del te- 

 traedro dei punti A4, 



« È ad osservarsi che pei punti presi su una stessa delle facce a< del 

 tetraedro Ai A 2 A 3 A 4 le superficie <P P hanno tutte la medesima retta dop- 

 pia, che è la a t a'i = hi: la conica doppia varia da una superficie ad un'altra: 

 il suo piano descrive la retta <z £ . 



3° La conica di cui è parola in 1° non può degenerare senza che de- 

 generi il cono (P); rimane dunque a far degenerare la conica di cui è parola 

 in 2°. Ciò accade precisamente quando i due fasci generatori della conica 

 sono prospettivi, cioè quando, essendo P in uno dei piani a { , è P anche 

 sulla rigata R 8 . Il caso attuale 3° si presenta, dunque, quando P è all'interse- 

 zione di R 8 con uno qualunque dei piani c^; epperò si può dire che i punti P 

 peri quali le superficie tf> P assumono tre rette doppie, di cui 

 una soltanto passa per P, sono i punti della sezione della ri- 

 gata R 8 con i piani a t (i — 1, ... ,4) eccettuati quelli che sono 

 pure punti di N 6 . 



« Si deve osservare che fa parte della sezione della rigata R 8 col piano cu 

 la retta hi, 



4° e 5°. In questi due casi degenera anche la superficie. In fatti, es- 

 sendo b la polare di b' rispetto a t^ = 0, quando b passa per P vuol dire 

 che V è nel piano ir, cioè che b' è una generatrice di R 8 , epperò che P è 

 su N 6 . L'essere P su N 6 importa che il cono polare congiunto di P risulta 

 indeterminato, e C P come sono proiettante la cubica Q 3 (I, 3) si riduce ad 

 un cono del 2° ordine perchè Q 3 contiene P. La superficie quindi diventa 

 del 4° ordine con P quale punto doppio conico. Sicché pei punti P della 

 sesticaN 6 , la superficie<Z> P è del 4° ordine e possiede t re rette 

 doppie per P; e queste sono le tre t risecanti della N 6 uscenti 

 d a P. Se P è nno dei punti comuni ad N 6 ed ai piani a, , ma non uno dei 

 punti Aj , (P) = C P si spezza in due piani ; e se è P = A; la <P P diventa 

 del 3° ordine con un punto doppio in P. 



II. 



Decomposizione del cono tangente al punto triplo. 



« 3. Accanto ai casi precedenti, in cui si sono avute di mira le varietà 

 della superficie rispetto al modo di degenerare della sua cubica doppia, vi 

 sono quelli in cui è il cono tangente al punto triplo che si decompone. Que- 

 sto può ridursi ad un piano ed un cono del 2 9 ordine, 0 a tre piani. 



1° Se il punto P si prende nel piano a\ (II, 1) il piano n passa per 

 Aj e la cubica Q 3 si riduce ad una retta p\ per Aj con una conica w in a t . 

 Il cono C P si spezza quindi nel piano Pj9; e nel cono quadrico P«. 



