— 381 — 



2° Se P si prende, in vece, sulla retta a{ d h , il piano n passa- per 

 AjAfc, la cubica Q 3 si decompone in due rette l'una p% per A; , l'altra p k 

 per A ft e nella retta A^ A m (ik, Im = 12, ... , 34) e C P diventa PpH-P_p/H-PAjA m . 



3° Se P è uno dei punti A' ; , =a' k di d m sarà tc = a t , Q 3 = Aj 



(A ft -f Ai -+- Am) e C P = P (AjA; £ +AìAì + Àì& m ). Questo caso è distinto 

 dal precedente perchè nell'uno i piani nou formano fascio, nell'altro sì. 



« Da quest'ultimo caso segue che le superficie £> P dei punti della retta 

 Ai A'j hanno tutte, oltre che in P, anche in A\ un punto triplo. 



4° Se, in fine, P, preso sulla di, è pure sulla a h , allora si decompon- 

 gono insieme cubica doppia e cono tangente al punto triplo ; e se è i — k 

 quest'ultimo si riduce ad una terna di piani di cui due coincidenti in 



III. 



La superficie rispetto alle rette uscenti dal punto triplo. 



« 4. Si è visto che la conoscenza delle rette a h della superficie dipende 

 dalla conoscenza delle 4 radici dell'equazione (cfr. I, equ. e 3). 



[oa) = 0 (1) 



e che quindi le particolarità di questa equazione sono altrettante particola- 

 rità della distribuzione di quelle rette, e della superficie. 



« Supponiamo che la (1) possegga h radici uguali ad una quantità a, k 

 uguali a b, l uguali a e ed m uguali a d, sicché sia h -+- k ~h l -f- m = 4. 

 Allora corrispondentemente si avranno i seguenti casi: 



1° caso 2° caso 3° caso 



li =.- k — l m = 1 ; h== 2, k — l—- 1, m = .0 ; h -~k — - 2, l — m — 0 ; 



4° caso 5° caso 



h — 3, k "= 1, l == m — 0 h = 4, k = l = m = Q 



« Supponiamo inoltre che nei casi da 2° a 5° niuna delle radici mul- 

 tiple annulli, oltre del determinante | Cm [, tutti i suoi minori del 3° ordine. 

 Allora, mantenendo generale la posizione di rp = 0 rispetto a Xf ~Y- [up = 0, 

 la sestica N 6 non degenererà, e quindi nemmeno d> P perP arbitrario. In cor- 

 rispondenza dei casi sopra nominati noi avremo, dunque, quanto segue : 



a) Il caso 1° è il caso generale. Supponendo reali le 4 radici potremo 

 prendere il tetraedro auto-coniugato comune alle quadriche del fascio lf-h[A(p=0 

 come tetraedro di riferimento. Allora f=0, y = 0 potranno rispettivamente 

 essere scritte nella forma: 



/ = A -f- A oc-i -f- fi x 3 3 -f- A x? = 0 ; 

 SP = yi^i 2 + g- 2 ^ 2 2 + 9>3 A'3 2 + y 3 Xi 2 -— 0 



