— 382 — 



ed avendosi allora 



7)0 



1&i 



(6 = f, <p; ^==£, r/» ; * = 1,...,4; * = 1, 2, 3) 

 col porre fi (fi = r u (il = 11, ... , ... , 34) e 



*ti si '/( Si iji — JJii 



con che è = 0 l'equazione della superfìcie sarà la 27 data nella Nota II, 

 quando le H i;i si rimpiazzino con espressioni della forma 



1=3 



pipili ? 



1=1 



e per avere l'equazione di una superficie del 5° ordine con conica doppia 

 fuori del punto triplo e con una retta doppia per questo punto basta nel- 

 l'equazione così ottenuta di porre, p. e., £ 4 — 0. 



« Si osservi che nel caso in esame le formule (4') della rappresenta- 

 zione parametrica, diventano quelle date nella Nota II (nota 1 al n.° 4). 



b) Nel 2° caso due delle rotte a h coincidono; sicché la superficie 

 presenta pel punto triplo tre rette, lungo una delle quali è toccata sia 

 dal cono (P) che dal cono C P . 



c) Nel 3° caso le rette a s coincidono due a due, sicché la superficie 

 ha pel punto triplo due rette lungo ciascuna delle quali è toccata da C P e (P). 



d) Nel 4° caso tre delle rette a h coincidono ; e la superficie presenta 

 pel punto triplo due rette, lungo una delle quali è osculata sia da C P che 

 da (P). 



e) Nel 5° caso la superficie presenta una sol retta pel punto triplo, 

 lungo la quale è sovra-osculata da C P e da (P). 



« Per brevità di esposizione io raccoglierò ora in un quadro le formule 

 che nei diversi casi da 2° a 5° conducono all' equazione della superficie. 

 Terrò perciò presenti la equazione 27 della II, ed il significato che in essa 

 hanno le quantità H i;£ . 



« Scegliendo convenientemente il tetraedro di riferimento, si può prendere : 



nel 2° caso f = ax x 2 + bx 2 3 + x 3 2 2cx 3 x 4 ; <P = &\ 2 + Xi 2x 3 x A 



" 3° " f=x 2 -+-x 2 2 — 2aX\X 2 — 2bx 3 x^; (•} — x x x 2 -4- x 3 Xt 



» 4° » f = clx 2 + b(x 3 2 -+-2x 2 x A )- s r 2x 2 x 3 ; y — x x 2 -f- x 3 2 + 2x 2 , 



» 5° „ f — 2a(x x x 2 -hx 2 x 3 ) — x 3 2 — 2,^1^3 ; y = 2 (x x x 2 + x 2 x 3 ) 



