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sarà 3.4.8.8, e se vogliamo inoltre lasciar fissa una delle rette di un sistema, 

 l'ordine diventa semplicemente 3.8.4 ('). 



« Ora io farò vedere che se la retta da lasciar fissa è la prima del 

 primo sistema, allora le 3.8.4 sostituzioni fra le 24 rette si possono rappre- 

 sentare in una maniera semplicissima. Effettivamente le 4! sostituzioni fra 

 i punti 5, 6, 7, 8 esterni al quadrilatero fondamentale fisso, non alterano que- 

 sto quadrilatero, non scambiano fra loro i tre sistemi d'imprimitività, e non 

 alterano la prima retta (13); e inoltre le quattro sostituzioni suindicate, fra 

 quattro punti, neanche alterano il quadrilatero, i sistemi, e la retta, e quindi 

 nel complesso si hanno 3.8.4 sostituzioni che apparterranno certamente al 

 sottogruppo che si vuol considerare, e che sono semplicissimamente rappre- 

 sentabili, cioè per mezzo di semplici permutazioni di alcuni degli otto punti 

 fondamentali. Quel numero è precisamente il numero di tutte quelle da ri- 

 cercarsi, e quindi possiamo dire: 



« Il sottogruppo (g) che lascia fissi i tre sistemi d'imprimitività e che 

 « lascia fissa la retta (13) (o (24)) è dato dalle 4! permutazioni dei quattro 

 » punti esterni, insieme alle 4 suindicate permutazioni dei punti 1, 2, 3, 4». 



e Possiamo ricercare più generalmente le sostituzioni che, anziché lasciare 

 fissa la retta (13) e quindi (24), lasciano solo fissa la coppia (13.24) po- 

 tendo scambiare fra loro le due rette della coppia. Il numero delle sostitu- 

 zioni diventa allora doppio, e per trovarle tutte basterà aggiungere le stesse di 

 prima ai prodotti di esse per un'altra sola sostituzione che produca questo effetto. 



« Ricordando le cose da noi dette nel §. 23 della Mem. cit. si vede 

 subito che una sostituzione di tal natura può definirsi come quella che muta 

 le rette del sistema completo 



32 . 31 . 34 . 35 . 36 . 37 . 38 



rispettivamente nelle rette dell'altro 



14 . 24 . 21 . 35 . 36 . 37 . 38. 



« Questa sostituzione, che chiameremo <r, produce una permutazione ab- 

 bastanza semplice fra le 24 rette. Lascia inalterate le 16 rette che congiun- 

 gono i primi quattro punti cogli altri quattro, e permuta una delle 6 + 6 

 rette, che congiungono fra loro a due a due i primi quattro punti, e fra loro 

 gli altri quattro, in quella che congiunge i due rimanenti punti pei quali essa 

 non passa, come facilmente si può verificare. Dunque: 

 « il sottogruppo più ampio che lasciando fissi i tre sistemi, lascia fissa solo 

 « una coppia del primo sistema, è formato da (g, a) » . 



(!) Si può mostrare che il gruppo che lascia fìsso il quadrilalero è transitivo in 

 tutte le 24 rette restanti, e quello che lascia fissi anche i tre sistemi è transitivo nelle 

 8 rette di un sistema. 



