— 389 — 



« Esaminando ora i gruppi così costituiti possiamo enunciare i seguenti 

 teoremi : 



1. Il gruppo che lascia fissi i tre sistemi d'imprimiti vità possiede una 

 quadrupla transitività nelle quattro coppie di uno dei sistemi. 



2. Il gruppo che lascia fissi i tre sistemi e una delle otto rette di 

 un sistema, è transitivo nelle altre 6 rette dello stesso sistema, ed è anche 

 transitivo nelle 8 rette di ciascuno degli altri sistemi. 



3. Le sostituzioni che nel gruppo precedente lasciano fìssa una coppia 

 di uno degli altri due sistemi, lasciano fissa anche una coppia del terzo. 



4. Se si fissano le quattro coppie di un sistema, restano ancora quat 

 tro sostituzioni possibili fra le quattro del secondo^sistema ; e, fissate queste, 

 restano fissate quelle del terzo. 



5. Nel medesimo gruppo del n. 2 le sostituzioni che lasciano fisse le 

 coppie degli altri sistemi o permutano contemporaneamente i due elementi 

 di ciascuna coppia del secondo sistema, o no. Così pel terzo sistema, ed in- 

 dipendentemente dal sistema precedente. 



§. 3. — Coppie di coniche esterne Tana all'altra. 



« Colle 24 rette restanti si possono formare 162 altre quaterne-zero. 

 « Esaminando il quadro dei sistemi d' imprimitività del §. 2 vediamo 

 che si possono formare, colle rette di quel quadro, le quaterne 



13 . 24. 56 . 78 

 13 . 15 . 56 . 36 



di cui quelle del primo tipo sono 18 e quelle del secondo sono 144. 



« Una del primo tipo è composta con due coppie di un medesimo si- 

 stema d' imprimitività, e pel teorema 1) del §. preced. si ha che tutte le 

 quaterne così formate sono da ritenersi fra loro equivalenti. Quelle del se- 

 condo tipo sono composte con due rette di un sistema e due di un altro. Per 

 i risultati del §. precedente si ha che tutte le siffatte quaterne contenenti la 

 retta (13) e la retta (15) sono da ritenersi fra loro equivalenti perchè il gruppo 

 che lascia fisso (13) (15) è transitivo nelle rette (56) (57) (58) : e quindi 

 anche tutte le 144 quaterne del secondo tipo sono fra loro equivalenti. 



« Possiamo dunque dire che esistono due sole specie di coppie di coniche 



« esterne l'una all'altra, la prima specie è rappresentata dalla coppia 



(12.23.34.41) (13.24.56.78) 



« e la seconda specie è rappresentata da 



(12 . 23 . 34 . 41) (13 . 15 . 56 . 36). 



„ . 315.18 nooe 315.144 i . 



' ve ne sono rispettivamente — = 2835, e — — = 22680 di cia- 



U Ci 



« scuna delle due specie » . 



