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si possono prendere quelli che i punti di appoggio della b sulla </> fanno con 3 

 dei 5 punti tripli. Ora la y> è rappresentata dai punti delle rette e, f e 

 queste, insieme ai lati del pentalatero 12...5 che rappresentano i punti tripli, 

 sono tangenti ad una stessa conica, la </. Ne segue che dei rapporti anarmonici 

 sunnominati, due sono quelli, indipendenti, del pentalatero 12. ..5 e gli altri 

 sono quelli delle rette e, / con 3 dei lati di esso. Si vede così che corri- 

 spondentemente alle trasformazioni lineari che mutano il sistema rappresen- 

 tativo di una superficie S, come quella che stiamo studiando, nel sistema 

 rappresentativo di un'altra tale superficie S', quando è soddisfatta l'uguaglianza 

 fra il numero ed il valore degli invarianti assoluti, si hanno trasformazioni 

 lineari di S in S'. Cerchiamo ora direttamente queste trasformazioni. 



« 6. Diciamo A t - , A'i (i = 1 , ... , 5) i rispettivi punti tripli di S, S'; 

 b, b' le rette fuori di essi punti ; q>, y' le cubiche doppie ; H; , H'j («'=1,2) 

 i punti b.y>, b'.cp'. Queste cubiche sono individuate dai primi due degli inva- 

 rianti assoluti relativi a ciascuna superficie, e di cui si è discorso al n. pre- 

 cedente, perchè ciascuna si presenta come linea focale del sistema di rette 

 (1, 3) ulteriore sezione di due complessi tetraedrali i cui tetraedri fondamen- 

 tali hanno in comune tre vertici ; perciò, in qualunque modo, ma con riguardo 

 alla genesi di y>, <p' omograficamente, si passi dal pentagono A^.As al pen- 

 tagono AV-.A's , allo stesso modo si passerà dalla cubica y> alla cubica <p'. — 

 Ora, si supponga che l'uguaglianza degli invarianti assoluti segua così che 

 si abbia: 



b (A, A 2 A, A 4 A») A V (A\A' 2 A 3 A' 4 A' 5 ) 



(A, A, A* H,) = (A'i A', A\ H',) (p =- 1 , 2) 



sulle cubiche g>, q' si avranno le serie proiettive 



A, A 2 ...A 5 Hi H, a A\A',...A' 5 H\ H' 3 



epperò l'omografia spaziale 



Ai A 2 A 3 A t A 5 



= A', A 2 A' 3 A',A 5 



farà corrispondere al punto H p il punto ìL' p (p — 1, 2) ; cosicché muterà anche 

 b in b'. Se ne conclude, in virtù di quanto si disse nel numero 5 della NI, 

 ed in fine del prec. n.° 1, che Sì muta S in S', e quindi, il risultato 

 seguente : 



«L'uguaglianza degli invarianti assoluti indipendenti 

 delle superficie S, S' porta seco l'esistenza, in generale, di 

 un'omografia che cangia S in S\ Ed in particolare: 



"La superficie che stiamo studiando non ammette, in 

 generale, trasformazioni lineari in sè, diverse dall'identità. 



