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che può anche essere scritta nella forma 



0 





A 3 1^31 



Ai4^9i4 



a?! 



A 12 J9i 2 



0 



A 23 ^-23 



Ao 4 ^ 2 4 





A31 P31 



Ao3^23 



0 



A 24j /J24 



■2?3 



Au^u 





A 34 />34 



0 



W4 



X 1 



x% 



i5?3 



# 4 



0 



dove si è supposto %- t ~l (i '= 1 , ... , 4), il che è lecito (n. 13, N II), si sono 

 indicate con p ih le coordinate della retta che unisce il punto Xi della super- 

 ficie al punto triplo e dove le costanti A ift soddisfanno alla condizione 

 A 12 A 3l Hi A 23 A 14 + A 31 A 24 0. 

 « 4. E da osservarsi che questa 2 a forma dell'equazione della super- 

 ficie si può cavare direttamente dalla (2') scrivendo dapprima tangenzial- 

 mente l'equazione del sistema di quadriche da queste rappresentate, poi po- 

 nendo al posto delle x\ , r 2 , r 3 i valori (,u), con che si cade sull'equazione 

 di un connesso piano retta (2, 3) ('), e poi facendo le sostituzioni Xi ■, — Ui 

 (i = 1 , ... . 4), ciò che concorda con quanto dicemmo più in generale nella 

 Nota : « Altre proprietà ecc. » (questi Rend , nov. 1892). 



§ n. 



« 5. Cerchiamo ora gli invarianti assoluti della superficie, rispetto al 

 gruppo lineare. Se dalla retta b proiettiamo i 5 punti tripli A l5 ... ,A 5 , 

 avremo i 5 rapporti anarmonici 



b (Ai A 2 A 3 A 4 ), b (Ai A 2 A 3 A 5 ) , ... , b (A, A 3 A 4 A 5 ) 



di cui due soltanto sono indipendenti, poiché detti ordinatamente A 5 , A 4 ,...,A, 

 si hanno le note relazioni: 



A t A 2 -f- A 4 — A 2 A 3 -j- A s — . A 3 A 4 -f- A x = A4 A 5 -f- A 2 = A 5 A! -f- A 3 = 1. 



« Ora, dato il pentagono dei punti tripli, due qualunque di questi rap- 

 porti anarmonici non fissano la retta b ma assicurano soltanto che questa 

 è fra le corde di una certa cubica (p circoscritta a quel pentagono. Per fissare b 

 occorre dunque dare i suoi punti di appoggio su questa cubica, cioè due altri 

 rapporti anarmonici se la cubica è doppia per la superficie, ed uno soltanto 

 se è cuspidale. Ne concludiamo che la superficie ha 4 0 3 invarianti 

 assoluti secondochè la cubica g> è per essa doppia 0 cuspidale. 



« Possiamo trovare sul piano rappresentativo (cfr. NI, § II) che cosa val- 

 gono questi invarianti assoluti. Per i due ultimi rapporti anarmonici sunnominati 



(') Questo Connesso è quello che ci ha condotti alle formule (1) della NI, e quindi 

 anche uno dei 5 di cui è parola ai n.' 13 e 16 della NII. 



