di A ; , nei quali m incontra ulteriormente la superficie, sono tali che i loro 

 piani polari rispetto a i|» = 0 sono tangenti alla quadrica corrispondente 

 della m. Cosicché, mutando, per polarità rispetto a i(j = 0, la rete ora con- 

 siderata, quella quadrica si muterà in un'altra della rete tangenziale ottenuta 

 dalla trasformazione, la quale avrà comuni con m precisamente i punti M, M'. 

 Fra m e questa quadrica vi sarà frattanto corrispondenza proiettiva, e noi 

 quindi possiamo enunciare il risultato seguente, il quale, come dicevamo, for- 

 nisce nuovi modi di costruzione della superficie, cioè : 



"Vi sono 5 modi diversi di produrre la superficie come 

 luogo delle intersezioni delle rette di una stella, col centro 

 in un punto triplo, e le quadriche di una rete tangenziale la 

 cui base è formata dalle facce del tetraedro dei rimanenti 

 punti tripli, e della retta b della superficie. 



« Fra le quadriche di questa rete vi sono le 4 coppie di punti costi- 

 tuite da un vertice del tetraedro dei piani a cui esse sono tangenti, e dal 

 punto in cui b taglia la faccia opposta. Fra le rette della stella proiettiva, 

 vi sono poi le 4 rette che proiettano i vertici di quel tetraedro, e che cor- 

 rispondono ordinatamente a quelle quadriche. Siccome una corrispondenza 

 proiettiva fra due forme di 2 a specie, è individuata dal dare 4 coppie di ele- 

 menti corrispondenti, così si ricava di nuovo i 5 punti tripli e la rettaè 

 individuano la superficie (cfr. NI, n. 5). 



a 2. Formiamo le equazioni delle 5 corrispondenze proiettive suddette ; e, 

 per semplicità, riferiamoci alle (2) e (3) della N I. I punti di una retta 

 per §i saranno dati, quando s'indichino con Vi:t 2 :t 3 due parametri variabili 

 con la retta, e con g un parametro variabile con un punto di questa, dalle 

 formule : 



»"l = fffl + Il, $2 — Ofg+T 25 ^3 = 0"?3 -t- ^3 , *4 = 0'?4 (1) 



perciò, il piano polare di ognuno di questi punti, rispetto alla (2) cit., avrà 

 per equazione 



avendo posto : 



4 3 



n» — 6 x i ; v™ = Y Vi r i x i (v = A 

 i i 



« Cosicché dovrà essere, indipendentemente da e : 

 *fcx + f-x = 0 , <sq>i v -J- <p~ x == 0 , 

 e ciò richiede che si abbia: 



fcx <Pxa> — ftx <f£x — 0. (2) 



« Se si osserva che 



f x Xx . <p; X — (fi$i • fi* = (/V>)i2 • ììXxX-i + (/5p)i3 • £s#i#3 + (f<P)n • §4X1X4, 

 f%Xi . (fl x — (f 2 X 2 . fz x ~ (f(p) 2 i . firf?i# 2 -h (/V) 23 • §3X2X3 -h {f<f)ìi • §4X3X4, 

 fsXì . (pSx — ^3 • U» = (f<p) 3 l ■ §1X1X3 -+- (f(p) 3 2 • §2X2X3 + (f(p)3i • §4X3X4 



