« Nel caso particolare che sia fi = TJ 2 — V 2 e U = ~ V = le due 



U2 » 2 



forme diventano 



ds > = ( u 2 v 2 ) (u &*> + v a»») ÀV» = /i- _ (E^L* + 1^ 



e le due superficie S S x sono riferite geodeticamente l'ima all'altra. Allora è 

 noto (Dauth eville), che ad ogni movimento su S sotto l'azione di forze qua- 

 lunque dipendenti da u v soltanto, corrisponde, su Sj un movimento della me- 

 desima natura. Se con K x K 2 indichiamo le componenti secondo uv della 

 forza agente sul punto mobile di Si . avremo 



K! = Ex Tx -f Pi T 2 . K 2 = F, Ti + Grj T 2 . 

 « Sostituendo i valori trovati di Ei G-x (Pi — 0) e calcolando T\ T 2 , ser- 

 vendosi della relazione (B) si trova dopo qualche riduzione: 



Kl - -1 / P/^-t^-fÌ K, = ^-( P^f^fÌ . 



« Volendo che anche le forze Ki K 2 ammettano un potenziale, sarà ne- 

 cessario e sufficiente che P fi sia della forma U 3 — V 3 con U 3 funzione dalla 

 sola u, V 2 della sola v, cioè il potenziale delle forze Qi Q 2 sia della forma: 



P = 



U3-V3 



fi 



ed allora il potenziale delle forze K x K 2 sarà 



Pi = 



TI 3 u — v 3 v 

 V — u 



« 3. Facciamo ora la seconda delle ipotesi enunciate, cioè passiamo al 

 caso in cui le forze X Y agenti sul punto mobile siano centrali. Riprendiamo 

 le formole (1) (2) (3) (4) del n. 1 del moto di un punto in un piano. Nella 

 detta ipotesi, le equazioni (1) ammetteranno l'integrale delle aree: 



dx dy 

 y -7- — x-f: = a = cost. 

 9 dt dt 



e quindi fra le quantità '~dl,^dt ' ' (fdt) P assera ^ a reiazwne : 



« Allora è chiaro, che, affinchè le quantità Xx X x vengano a dipendere 

 solamente da X\ y\ , sarà necessario e sufficiente scegliere y> xp X in modo 

 che sia: 



1 (ÌÌ9\.±{ÌÌ2.\i2l >(lì2.X: lteU, 2 ._2„ 

 x \l ' ~òy V ì% / ~òq \X ~òy } ~èy \ì Dy ) * J 



~òx 



e le analoghe per xp 



