La seconda e la quarta si integrano immediatamente, e danno: 

 (C) Ej = E A U G-i — - GU V 



dove UV indicano due funzioni arbitrarie della sola te e v rispettivamente. 



« Eliminando le indeterminate m n fra le altre quattro equazioni, si 

 hanno le due: 



1 DEx 1 7)E_2pA_l pG 1 E ^Gi_ Q 



1 ìGn __ 1 1>G- 2 7)A 1 7)E 1 flìE. 



Gì 7»y G Di' A'ày E > "*"E Gì 



le quali, in forza delle precedenti (C) si possono scrivere : 



ni ug tr ni he_ v _ 



A 7)m G U% V — U A ^y. E >w V — U 

 « Derivando la prima di queste equazioni rispetto a y, la seconda ri- 

 spetto ad u, e sottraendo si ha: 



. G . 

 log — = 0 , 



da cui si ricava, che le linee u v formano un sistema isotermo sulla su- 

 perficie S. Indicando allora con Ui V! due nuove funzioni qualunque, la prima 

 della sola u, la seconda della sola v, e con ix una funzione qualunque di u v, 

 potremo porre E = fi Un G — n Y x , per cui la (1) diviene 

 (la) ds 2 = ix (Ui du 2 + \ r ! dv 2 ) . 



« Dopo questa posizione, le due equazioni precedenti si integrano imme- 

 diatamente e danno : 



1 = ^- (5) 



[X 



Sostituendo questi valori di EGA nelle espressioni di EiGi, la (4) assu- 

 merà la forma 



(4a) d Sl 2 = (V— U) (U, U du 2 + Y 1 V dv 2 ) ; 



cioè « l'elemento lineare della superfìcie S 2 assumerà la forma di Liouville ». 

 Viceversa è chiaro, che quando gli elementi lineari di S ed Si hanno ri- 

 spettivamente le forme (la) e (4a) e A ha la forma data dalla (5), la tra- 

 sformazione (A) gode della proprietà richiesta. 



«Dunque possiamo dire: Se ad ogni movimento su S di un 

 punto soggetto a forze che ammettono un potenziale vogliamo 

 far corrispondere un movimento su Si di un punto sotto Tazio ne 

 di forze dipendenti solo dalla sua posizione, è necessario e 

 sufficiente, che dei due sistemi ortogonali di linee che si 

 corrispondono sulle due superficie, quello della S sia iso- 

 termo, quello della Sj abbia la forma di Liouville, e preci- 

 samente siano nella relazione di (la) e (4a). 



