« Se in queste facciamo Ui = v Vi — — u , i secondi membri diventano 

 integrabili, e si ha a meno di un fattore costante : 



u -j- v 



e quindi 



„ _,(„)= „=^ W =J^^ (6) 



Se 5) 6) ci danno una trasformazione dipendente da una funzione arbitraria. 

 Si verifica facilmente che anche le forze XiYi ammettono un potenziale TJi 

 cioè si ha: 



« 2. Passiamo ora al moto su di una superficie qualunque S. Scelto su 

 di essa un sistema di linee coordinate u, v, sia 

 (1) ds 2 = E du°- -{- 2F dudv + Gcdv 2 . 



il quadrato del suo elemento lineare. L'equazioni del moto di un punto su S 

 si possono scrivere: 



&u , ( 11 ) (duV . ( 12 \dudv . t 22 ) (dvV _ 



"H 1 



tó 2 1 1 \ di 7 1 ( 1 )dtdt 



(2) 



1 cPt; j 11 } /^V , J12|^^ , (22) /M* — P 

 ^ 2 + '( 2 (V^j + ( 2 $ ~H 2 ~ E2 



( y s ) 



dove ] [ rappresentano i noti simboli di Christoffel calcolati con E F G , ed 

 ( ^ ) 



,n v GQi-FQ 2 _ FQi + E q 2 



^ EG — F 2 2 ~ EG — F 2 



se Qi Q 2 sono le componenti secondo u v delle forze agenti nel punto. 



« Si voglia ora far corrispondere ad ogni moto del punto di S un moto 

 di un punto su di un'altra superficie S x . Prese su Si le linee corrispondenti 

 alle u v di S, e che chiameremo anche a v, sia (4) dsf = E x da 2 — f- 2 F x da dv 

 -f- Gì dv- la forma dell'elemento lineare di Si. 



« Mediante la trasformazione dt x — A (uv) dt (A) le (2) si cambiano nelle 



altre : 



(d 2 u _, Ani -J- ì^V— Y -4- 2^ 12 l-4- ^ ^V— — Y=r^i 

 Uh 2 h \( 1 j A ìu]\dl x ) i_ V( M 2i 7w/ dfc > ( 1 SV^J 



d 2 v , (11) (duY, 9 ( (12) i -i.2Ì\*L^L 4. / (22) , /M 8 = 



f^i 2 ( 2 ) W / ^ \ ( 2 ì 2;. /^i tó, t \(2j t 2 ~òv) \dt f A 2 



« Interpretiamo queste equazioni come quelle del moto del punto di Si , 



( rs ) 



e ti come rappresentante il tempo. Se si indicano con < . > i simboli di 



( 1 )i 



