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e quindi, indicando con <j>, xp due angoli ausiliarii, potremo porre 



]fe . cos = sen <p , \l g sen ^—-^ = sen xp 



1 ~Òi/e 1 

 — = -r — — cos a> , — — = cos xp. 



« Dopo di ciò gli angoli y>, xp risulteranno legati dalle relazioni 



« Viceversa, se cp, ip soddisfano queste due equazioni, l'elemento lineare 



cos2 (y) sen2 (l) 



appartiene alla sfera di raggio = 1 e soddisfa alla (6*). 



« Le (11) possono interpretarsi geometricamente, ricorrendo alla teoria 



delle congruenze pseudosferiche (v. Lesioni pag. 426 ss.). E infatti, ove 

 si ponga 



(p = Mj -J- CO , Xp =i t0 1 (lì , 



esse si mutano nelle forinole per la trasformazione di Bàcklund. Tenendo 

 conto delle forinole date al luogo citato, si vede facilmente che la dipendenza 

 geometrica dei sistemi sferici cercati (u, v) dalle congruenze pseudosferiche 

 è data dal seguente teorema : 



« Si consideri una qualunque congruenza pseudosferica 

 e se ne faccia l'immagine sferica; alle assintotiche u, v 

 delle due falde pseudosferiche della superficie focale cor- 

 risponderà sulla sfera un sistema ortogonale (u, v) della 

 specie richiesta ( 1 ). 



§ 4. 



« Prendiamo ora una qualunque superficie <P i cui piani principali ab- 

 biano costante il rapporto delle distanze del punto fisso 0. Col centro in 0 

 descriviamo una sfera S di raggio arbitrario e costruiamo il sistema oo 2 di 

 circoli ortogonali contemporaneamente alla sfera S ed alla superficie <P. Questi 



(') Cf. la mia Memoria citata nel t. XVIII degli Annali (1890). Qui enunciero an- 

 cora il teorema: Perchè nella immagine sferica di una congruenza W alle 

 linee assintotiche delle due falde focali corrisponda un sistema orto- 

 gonale sulla sfera, è necessario e sufficiente che le due falde abbiano 

 in punti corrispondenti eguale curvatura. (Cf. Lezioni pag. 313 s. s.). 



