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circoli ammettono una serie oo 1 di superficie ortogonali (Lezioni pag. 325), 

 le quali tutte, come ora dimostreremo, appartengono alla classe di <P. E in- 

 fatti i piani di questi circoli passano per il centro 0 della sfera e, per la 

 proprietà supposta a <P, hanno quindi inclinazione costante sui piani princi- 

 pali di cP. Per le proprietà generali dei sistemi tripli ortogonali ne segue 

 che i piani stessi hanno la medesima inclinazione costante sopra i piani prin- 

 cipali di una qualunque superficie cP' ortogonale ai circoli ( 1 ). 



« Ne risulta che, nota una superficie <P, possiamo dedurne infinite altre 

 nuove e propriamente una doppia infinità colla costruzione seguente : 



« Col centro in 0 si descriva una sfera S di raggio arbi- 

 trario e si conducano i circoli normali contemporaneamente 

 alla sfera S ed alla superficie (P. Tutte le superficie <t>' or- 

 togonali ai circoli appartengono alla classe stessa di <2>. 



« Conformemente ai teoremi generali sui sistemi ciclici, queste nuove 

 superficie cP' si ottengono senza alcun calcolo d' integrazione, giacché una di 

 esse, la superficie (P, è già nota e la sfera S è doppiamente normale ai cir- 

 coli. Si può anche osservare che trasformando per raggi vettori reciproci la <P 

 rispetto alla sfera S si ottiene una superficie <P' dalla serie e però : 



« Ogni superficie (P per un'inversione di centro 0 si can- 

 gia in una superficie della classe stessa. 



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« Pel caso particolare e = — quest'ultimo teorema è dato anche da 



Guichard (1. e). In fine è da notarsi che possiamo ridurre la sfera S al suo 

 centro 0, nel qual caso i circoli considerati sono condotti pel punto fisso 0 

 normalmente alla superficie <P. 



« Le semplici formole date al § 1 si prestano ad altre applicazioni, e 

 noi qui ci proponiamo di risolvere con esse un problema analogo a quello 

 trattato superiormente e cioè: Trovare le superficie per le quali 

 un punto fisso 0 dello spazio ha costante il rapporto delle 

 distanze dal piano tangente e da uno dei piani principali. 



« Supponiamo p. e. nelle formole del § 1 



i 1 ) Ciò risulta subito dalle formole a pag. 464 delle Lezioni. E infatti, essendo le 

 traiettorie ortogonali delle superficie (q 3 = cost te .) curve piane, si ha 



quindi w 3 è indipendente da q 3 e però una costante assoluta, tale essendo pel particolare 

 valore di q 3 che corrisponde alla 



5. 



Wi = kW (k costante), 



e però 

 (12) 



