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sono gli elementi di un sistema semplice controvariante, è facile concludere 

 che la funzione 



4) J = 4= 2 s X s (^-fH 



y a V dx s+l dx$+2 / 



è un invariante. E poiché, nella ipotesi che le coordinate generali coincidano 

 colle cartesiane ortogonali, le espressioni (3') delle u s coincidono colle (3) 

 ed J non è che il primo membro della equazione (W) moltiplicato per H, 

 se ne conclude che questa equazione, se per le u s vi si intendono poste le 

 espressioni (3'), è la trasformata in coordinate generali della equazione di 

 Weingarten. 



« 2. In secondo luogo, mantenendo ferme le altre convenzioni e nota- 

 zioni del § 1, si supponga la forma fondamentale ternaria <p di natura qua- 

 lunque e si designi con (') il sistema doppio controvariante, il cui an- 

 nullarsi identicamente rappresenta le condizioni necessarie e sufficienti per- 

 chè la forma y> sia trasformabile in altra a coefficienti costanti. Posto 



£ 9 = HX 2 -H 2 ?g 



J 1 == ,— ^qrs G rs (X s+ j £q S -t--2 Xs+2 £qs+l), 



fa 



è facile riconoscere che la espressione J\ è un invariante. La equazione di 

 condizione perchè il sistema di superficie di parametro q considerato come 



appartenente allo spazio di elemento lineare ]f q> appartenga ad un sistema 

 triplo ortogonale è espressa dalla equazione 



W) J + Jj = 0. 



È da notarsi che Ji si annulla identicamente e quindi questa equazione si 

 riduce a quella di Weingarten non soltanto nel caso, in cui il sistema a lrs) 

 è identicamente nullo, ma anche quando i suoi elementi assumono la forma 



«<«> = fia™ -h vX (r) X cs) , 

 i coefficienti f.i e v essendo qualunque. Questo caso si verifica, per esempio, 



se \/(f> è l'espressione del quadrato dell'elemento lineare di uno spazio a 

 curvatura costante. 



« 3. In fine, assumendo sempre come fondamentale una forma ternaria y 

 di natura qualunque, si consideri una equazione qualsivoglia della forma 



ce) 2 r X (rt M- = 0. 



dx r 



I suoi coefficienti costituiscono un sistema controvariante e, come è per- 

 messo, noi supporremo scelto il coefficiente arbitrario, che essi contengono, 

 in modo che si abbia 



2 r g a rs X (r) X (s) = 1. 

 (') Si veda il Eiassunto citato (§ 2, forinola (4)). 



