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« Posto 



X,as=E, (X w ) 

 manterremo le notazioni dei §§ 2 e 3 e porremo di più 



a . M 



2c rs 



— x rs - 



■f- X sr 





0 





x 2 



x 3 



X, 



di 





Cl3 



x 2 



C%\ 



(?22 





x 3 





^32 



C33 



1^1 a ■ r dx r 

 2 ~\/ cl Y (s) = X s -)-i s+ .2 — X s -ì-2j-i-i 



Q = 2,x s y< s > 



2P, = 2 S X (s) X„ , P (r) = R'f (P r ) 

 v r = — 22 q V^ X qr . 



Sarà facile riconoscere che le funzioni Y Cs) sono gli elementi di nn sistema 

 controvariante , e le P r e v r quelli di due sistemi covarianti ; mentre 

 M, N, Q sono invarianti, e l'ultimo di essi eguagliato a zero rappresenta 

 la condizione necessaria e sufficiente perchè, come nei §§ 1 e 2, le X r siano 

 proporzionali alle derivate di una funzione q rispetto alle x r . 

 « Poniamo ancora 



V rs = D<p (V r ) , Q s = , P« = Dtp (P r ) , 



"\f a J' = 2 S X s (y s +2 s+i — ^s+i s+2) ~+~ 2^ s P s (v s +z X s+1 — y s+1 X s +2 ) , 

 "\foi J'i= -^gr <3,-4 « <2l) ) X s+ i (X 2S+ 2 — 2X 2 P s -^2) — X s _i_2 (Xg, s+ i — 2X 2 P s+ i), 

 J 2 = 2 S X <s1 Q s , J3 = 2 rs o} r ® P,- s , J4 = 2 rs (ur S Xj- X s ). 



La condizione necessaria e sufficiente perchè la equazione («) ammetta due 

 integrali ortogonali nella varietà di elemento lineare \/cp sarà rappresen- 

 tata dalla equazione 



W") J' + J', — NJ 2 ~f-Q (4M + 2J 3 + J 4 ) = 0. 



Se si suppone di nuovo che le X r siano proporzionali alle derivate di una 

 funzione q rispetto alle x r e che valgano per esso le espressioni (2) del 

 § 1, si hanno le 



Q — 0, J 2 = 0, 

 HJ' = J , J'i = HJj , 



e la equazione (W") coincide colla (W) del § 2 ». 



