« Tracciando su d'un piano arbitrario due assi coordinati u , v , le rette 

 v — cost. rappresentano le generatrici, e le rette u = cost. rappresentano una 

 curva gobba della famiglia delle curve di riferimento sulla superfìcie 



x \ : x'ì : x' 3 : x\ = ai\a 2 :a 3 :a± 

 x" l :x" 2 :x" 3 :x' r 4 = b x :b 2 :b 3 :b± 

 corrispondenti ai valori u = oo ed u = Ó . 



« Le coordinate-raggi della generatrice arV sono i determinanti della 

 matrice 



a% a 3 a 4 

 £ 2 b-ì b A 



e se essa appartiene ad un complesso qualunque del fascio 



2) s n — kz H = 0 



cioè alla congruenza lineare che ha per direttrici le rette s 12 = 0 ^ 34 = 0 , 

 dovrà aversi identicamente qualunque sia v e k 



z x2 = a x b 2 — a 2 b x = 0 , s 3i = a 3 bi — <z 4 b 3 == 0 . 

 « L'annullarsi di questi due determinanti, risultanti delle due coppie 

 di forme x x x 2 ,x 3 x±, lineari in u , date dalle 1), prova che possiamo porre 



ai — (fi a , bi = (fi b , ai = (f 2 a , b 2 = (f 2 b 

 à 3 = SPs à , b z =|**jp3 d a 4 = g> 4 e , b i = g) i d 

 dove a ,b , c ,d e (pi sono funzioni di v. 



« Segue da ciò che alle 1) dobbiamo dar la forma: 



3) Xx =■ (fidali -f- b) , x 2 = (f 2 (au -\-b) ,x 3 = (p 3 (cu -j- rf) , ^ 4 = q> 4 (cu -f- d). 



» È da notare che il determinante ad — bc non può esser identicamente 

 zero; perchè altrimenti le due. forme a u -{- b , c u -\- d differirebbero per un 

 fattore l (costante o funzione di v) e le 2) diverrebbero, includendo l'unico 

 binomio au -j- b nel fattore di proporzionalità delle coordinate, 



x 1 :x 2 :x 3 :x i = ^-l'.^t'.X^-.X^: 

 e queste eq.' rappresentano una curva, non una superficie. 



« Dalle 2) possiamo trarre, eliminando i binomi in u, 



4) <pì£\ — (fi <f2 = 0 , (f A x 3 — (p 3 x A — 0 , 



che rappresentano piani passanti per una generatrice v = cost. e per le di- 

 rettrici X\ , %z — 0 , x 3 , Xi — 0 della congruenza. L'eliminazione di v tra 

 le 3) conduce all'eq. 9 della superficie 



U (.^i , x 2 , x 3 , Xi) = 0 ; 

 possiamo anzi dire che le forma dell'eq. 6 dev'essere la 



del tipo conoidale. 



