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« La natura della superficie dipende soltanto dalle funzioni (fi o, meglio, 



da' rapporti — , — che, in sostanza, sono le coordinate binarie dei piani 

 (fi <fz 



mobili con v nei due fasci 4). Perciò non può essere nè contemporaneamente, 

 uè separatamente: 



av\(f 2 J dv\(pj 

 identicamente. Infatti, se avesse luogo per es. la prima identità, il rapporto 



— sarebbe indipendente da v ; onde il primo dei piani 3) sarebbe fìsso, e 

 (fi 



la rigata si ridurrebbe al fascio di rette segnate su quel piano fisso dal 

 secondo piano (mobile) 4)- E nè anche può essere 



(fi <fi — (fz (f 3 = 0 : 

 altrimenti la superfìcie diverrebbe l'iperboloide 



X \ X4 — X 2 X 3 — 0 , 



che vogliamo escludere dai nostri ragionamenti. (I fasci 4) sarebbero progettivi). 

 « Ritenendo definite le coordinale & di un piano £ dall' eq. e 



= fi #i + £2 %i + £3 #3 + h X4, — 0 , 

 l'eq. e del punto 3) della superficie è 



{(f i fi + (fi h) (au + b) + (9)3 £ 3 -\- (fi f 4 ) (cu -j- d) = 0 . 

 « Essa è l'eq. e di un punto sulla retta che unisce i due corrispondenti 

 ad u = 0 u = ce 



Ol fi + (fi £ 2 ) « + 3 £3 + £4) ^ = 0 

 ((f i fi + ^) + (5P3 £3 + 9>4 £4) fi? = 0 



0 anche, poiché ad — bc § 0 , sulla retta che unisce i punti 



5) (fi fi + 9>2 £2 = 0 J ^3 £ 3 + ?4 £4 = 0 , 



il primo dei quali è situato sulla retta x 3 , # 4 — 0 , il secondo sulla retta 

 %\ , x-2 = 0 direttrici della congruenza. 



« Le 5) hanno la stessa forma (duale) delle 4). Si trae da ciò che 

 l'eq. e della sup. in coordinate di piani si ottiene dalle U — 0 , V = 0 po- 

 nendo in queste, al posto di x x , x% , x 3 , x± rispettivamente i% , — £1 , f 4 , — £3 ; 

 e si ha dunque 



U"(f„ — — àr) .= 0 , ovvero V (— | , — |A = 0 . 



« L'eq. e del piano tangente nel punto x , dinotando con y t le coordinate 

 correnti e con accenti le derivate rispetto a », è: 



(cu+dXyty's— (f 3 (f\){(f2yi— (fiy 2 )— (au-\-b)((f 2 (f' 1— tpigfjfotfs— (p 3 y*)=0. 



« Ponendo per brevità 

 ^ au -\- b = f , cu -\- d = g 



(fi (fi — (pi<p'z = E , (pi (fi — (f% (f\ = Gr 



