— 114 — 



scriveremo la precedente eq. e così : 



7) g G (g> 2 y x — ^, y 2 ) — f F (g> 4 y 3 — ( p 3 y i ) = 0. 



« Scriviamo adesso l'eq®. del piano polare dello stesso punto x rispetto 

 al complesso 2) 



8) f(<p2 Vx—Hx Và — kf J (f* Vz — M«) = 0 . 

 Identificando questa all'eq. 6 precedente, il punto di contatto x sarà un punto 

 di quell'assintotica che corrisponde al dato valor di k (costante d'integrazione); 

 e ciò per il ben noto teorema di Lie ch'io richiamai nella prima delle mie 

 Note ricordate. 



« Per questa identificazione si avrà: 



9) F/" 2 — kG g 2 ~-0 , 



ch'è l'eq. 6 in coordinate curvilinee u , v dell'assintotica A ft , corrispondente a k. 



« Le espressioni paramediche in funzione di v delle coordinate dei punti 

 della curva A, ; si ottengono eliminando tra le 3) e la 9) il parametro u , 

 e, cioè, il rapporto f:g. Si trova così : 



9 bis ) à?, : x% : ce* :x 5 = <p[ f #G : g> t ]/k~G : <p 3 0 : 9< 4 j/F 



dove ad uno dei due radicali si deve dare il doppio segno =t . Ma anche 



le 9 bis ) si possono far dipendere da' soli rapporti 



(fi , x <f3 ( \ 



f /2 fi 



dovendo essere u — v — ^ 1 ^ 4 fili > q come fu osservato. 



« Infatti dalle espressioni 6) di F e G si trae 



10) F== 9 » 2 ^ = ^>', G = y 4 *^ = ^v' 



donde poi, sostituendo in 9 bis ), si ha subito: 



11) Xi : x 2 : x 3 •' #4 = i" j/ Av' : ]/ lev' : y ]/ fi' : . 



« Se ,u è una funzione algebrica di r, cioè se tra per esiste una re- 

 lazione della forma 



<I>{/.i ,v) = 0 



di grado m in ,u e di grado n in r, allora, poiché le derivazioni non intro- 

 ducono trascendenti, le curve 11) saranno algebriche. Questo caso sarà trat- 

 tato nella Nota in cui parlerò delle rigate algebriche. 



« Il fatto che la 9) sia di 2° grado in u e che, perciò, l'assintotica A k 

 incontri in due punti una generatrice qualunque v delle superficie, trova la 

 spiegazione geometrica in ciò che, come osservò Klein, ad un piano £ per 

 la generatrice v della superficie corrispondono projettivamente due punti, 

 l'uno x di contatto con le superficie, l'altro x x come polo del piano stesso 



