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rispetto al complesso 2). I punti x ed i punti x y formano due punteggiate 

 projettive su y, i cui punti uniti, appartengono all'assintotica, pel teorema 

 di Lie. E dualmente. 



« La forma delle 9) e 9 bis ) mostra che le funzioni F e G si annullano 

 per quei valori di y i quali danno generatrici toccate dalle A fe , ed i punti 

 di contatto sono sull'una o sull'altra delle direttrici rettilinee. Si trae pure, 

 dal doppio segno di uno dei due j/ , che sopra una generatrice qualunque y 

 i due punti comuni ad essa ed all'assintotica ed i due ne' quali essa in- 

 contra le direttrici rettilinee formano un gruppo armonico; e variando k la 

 prima coppia forma un involuzione i cui elementi doppi sono quelli della 

 seconda coppia: l'eq. e dell'involuzione è 



fai fi -H (f, k G — (cfs J s + 9.4 £ 4 ) 2 F = 0 , 

 ed ai valori k --- 0 o k = co corrispondono l'uno o l'altro dei due punti 

 (fz h -f- 9>4 — 0 > T\ £i "\~ 9* £2 = 0 delle direttrici rettilinee. La 9) mostra 

 allora che, poiché y è data, le assintotiche corrispondenti sono fornite dalle 

 eq.' f- = 0 , g- = 0 che danno precisamente le due direttrici rettilinee, 

 ciascuna contata due volte. Le generatrici, per contrario, toccate da una A, ; 

 nei punti situati sulle predette direttrici sono le generatrici singolari delle 

 superficie, per le quali appunto F e G si annullano. Ed infatti per queste 

 generatrici singolari varrano le eq.' 4) insieme alle loro derivate rispetto a v 

 y\ x x — <p\ x 2 — 0 , <f'i x 3 — (f' 3 %t = 0 , 

 « Le quattro eq 1 . devono coesistere, onde 

 (fi <fì 0 0 

 (fi <f'i 0 0 

 0 0 (f 3 (pi 

 0 0 q! 3 (f\ 



« Data sempre la generatrice y , consideriamo sovra di essa i due punti 

 comuni coll'assintotica A k , i cui parametri u k , u\ saranno le radici dell' eq e - 9) 

 quadratica in u ,• ed una coppia di punti di parametri UU\ coniugati armo- 

 nici con quelli della prima. I parametri u ed u x saranno legati tra loro 

 dall'eq. 6 prima polare di 9), cioè dalla 



12) Ff 1 f—kGg i g = 0 



dove f = a u-\- b , f\ = OM\ -f- b ecc. 



» La 12) permette di scrivere l'eq. e 7) del piano tangente nel punto 

 di parametri u , v co' parametri U\ , v ; basta per questo eliminare tra le due 

 il rapporto Ff-.Gg: e si ha 



13) A (spz Vi — <Pi y%) — kgi fa y 3 — y 3 y*) = 0 . 



« Or questa è la 8) scritta co' parametri u x , v : essa dunque rappre- 

 senta il piano polare del punto U\ , v rispetto al complesso 2). Con l'aiuto 

 di questa eq. e noi possiamo scrivere le espressioni delle coordinate del piano 



0 



= FG 



