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tangente nel punto u , v sotto forma molto più semplice di quella che si 

 avrebbe dalla 7) : esse sono 



Si — (fi fi , £ 2 = (pì fi , £3 == : k (pi g A , £4, = k (p 3 Q x , 



e, come si vede, hanno la stessa struttura delle coordinate Xì del punto di 

 contatto x; salvo che nelle espressioni f e g figura non già il parametro u 

 ma quello Ui coniugato armonico di esso rispetto ad u k u'h (il parametro v 

 è lo stesso, perchè la generatrice non muta in questo discorso). Segue che 

 se noi scriviamo (col parametro u) 



14) rji=(p s f , t i2 = — ( p 1 f , r j3 = — k (p 4 g , r ji = k (f s g 



saranno queste le coordinate del piano polare del punto u , v rispetto al com- 

 plesso, ma anche del piano tangente alla superficie nel punto coniugato ar- 

 monico di uv rispetto ai due u h ,v;u\,v. Dalle 14) e dalle 3) noi trag- 

 ghiamo 



14 bis ) x x = — rj 2 ,x 2 ~ r jl , x 3 = — t rji , x t = - r j3 



che stabiliscono la giù generale reciprocità rispetto al complesso che muta 

 la rigata e l'assintotica A ft in se stessa ('). 

 » Possiam dunque concludere : 



« Nel piano (uv) la 12) definisce una trasformazione in- 

 volutoria di 2° ordine, le cui coppie di punti sono sulle rette 

 del fascio v = cost. : la curva unita dell'involuzione è la 

 curva 9), immagine dell' assintotica arbitraria A k . Ad un 

 punto u,v del piano corrisponderà sulla superficie un punto 

 u,v ed un piano u,v polare del complesso 2) che la toccherà 

 nel punto u x , v coniugato armonico di u,v rispetto ai punti 

 nei quali la generatrice v è tagliata dall'assintotica A; £ . 



« Per ogni assintotica si ha una trasformazione involu- 

 to ria nel piano ed una trasformazione reciproca della su- 

 perficie in se stessa, per la quale l'assintotica non muta. 

 Vi sonooo 1 di tali trasformazioni. 



« Reggono dunque le conclusioni di questa mia Nota; soltanto qui non 

 si può parlare di rappresentazione nel senso stretto (di Clebsch) cioè di rap- 

 presentazione biunivoca; e la trasformazione involutoria non si può dire di 

 Jonquières, perchè la curva 9) non è algebrica ». 



(!) Una particolare fu trovata esaminando le eq. 1 4) e 5); essa corrisponde a k=ì. 



