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eh' è un punto della congiungente i due punti 



5) (fi £ 3 + <P% £4 = 0 , (fi ?i -{- sp 2 1» + 9s £3 = 0 , 



l'uno (lo stesso di quello di prima) appartenente alla direttrice rettilinea 

 «3?2 i l'altro di coordinate 



6) X\ = 5P1 , $2 .== 5P2 , t3?3 = g> 3 ,^4 = 0 



appartenente ad una curva piana definita da queste ultime eq. 1 La curva 

 poi taglia la retta Xi = x 2 = 0 nel punto (0, 0, 1, 0) , e per quei valori di 

 v per i quali (p 3 = 00 . 



« Dalle eq.' 5) si vede che la natura della superfìcie dipende dalle tre 

 funzioni tp 0 meglio da' loro rapporti. Ricaviamo dalle eq\ 5) 



<Pl £4 <Pl — £3 £4 (fi £ 



^ ^2 £3 ' WS £l£< £2 £3 ' 9>3 £l £4 £2 £3 



onde si scorge che nel risultato dell'eliminazione comparirà il determinante 

 £1 £ 4 — £2 £3, ch'è proprietà caratteristica non solo delle superficie rigate 

 algebriche di Cayley ('), ma delle trascendenti purché contenute in una con- 

 gruenza della specie considerata. 



« Dalle 4) si traggono anche le: 



8) <p 2 x L — (pi ah = 0 , <p 3 x 2 — cp 2 x 3 -f- g>i Xi = 0 



le quali danno la costruzione correlativa della superficie mediante rette co- 

 muni ai piani del fascio <p z x x — (fi Xi = 0 per la direttrice rettilinea ed 

 ai piani tangenti di coordinate 



9) £ 2 = SPs , £3 = — <fì , £ 4 = (fi 



che inviluppano un cono di vertice £1 = 0 ; il quale tocca il piano x 2 =^0 

 passante per la direttrice per quei valori di v che danno <p z = 00 . 



« Guardando le 5) e 7) si vede come la sostituzione ( 'f 4 "f 3 X * ff 1 ) 



\£l S2 £3 §4 / 



conduca dall' eq. 6 tangenziale a quella in coordinate di punti, nella quale 

 comparirà anche la funzione : perchè si trova 



X\_ (£\_ X \ X4, — X% X% <£3_ 



X 2 (P2 ' %2 (P2 



k L'eq. e del piano tangente nel punto x è: 

 11) (Gf—Yg) (<p z yi — y& 2 ) — Ì7(»s — SP«y 8 + w) = 0 

 dove 



F — 92^'! (f^'i , G = ^3^2 (fì(f'z , 



(') Cayley, A second Memoir on skew Surfaces nelle Phil. Transactions di Londra 

 pag. 563, anno 1864 ; Cremona, Istituto Lombardo 1868. Una classe particolare di queste 

 sup. algebriche s'era già nel 1861 presentata allo Chasles, tomo 53 de' Comptes Eendus. 



