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e quella del piano polare dello stesso punto rispetto al complesso 1) è 



12) (g + kf) — yiy») — /(» — £«jra + SPifk) = 0 . 

 « Identificando le due eq.' 11) e 12) si ha la relazione 



13) 2F#-j-(£F — G)f=0 



che è l'eq. e in coordinate curvilinee dell' assintotica A ft per questa superficie. 

 Da essa si vede, poiché è di 1° grado in f:gl- che l'A fc è incontrata in un 

 sol punto da qualunque generatrice. Siccome poi per i punti della direttrice 

 rettilinea x x = x 2 = 0 è f=0 (e g qualunque), così la A ft incontra la di- 

 rettrice rettilinea ne' punti per i quali F = 0. I valori di v tratti da questa eq. e 

 forniscono le generatrici singolari della superficie. Infatti se la generatrice 5) 

 (o, ch'è lo stesso, 8) ) incontra la consecutiva, dovranno, insieme alle 5), 

 valere le loro derivate rispetto a v : 



« Eliminando le £ - t tra queste due eq.' e le due 19) si ha 



9>i <fz <Ps 0 

 <f\ y'2 (p's 0 



= 0 



0 0 (fi (fi 

 0 0 (f\ y\ 



onde 



{<Pi<f'% — y'^f = P 2 = 0 . 

 È anche qui da avvertire che le funzioni F e Gr non possono essere identi- 

 camente nulle, nè contemporaneamente nè separatamente. Infatti se così fosse, 

 se ne trarrebbe intanto 



— = cost ~ a , — — cost = b. 



(fi </>2 



Supposto soltanto F nullo il primo rapporto darebbe il punto fisso £ 3 -f- tèi = 0 

 (0 il piano fisso ax\ — x 2 = 0), ed essendo (31- diverso da zero, la superficie 

 si ridurrebbe alle rette progettanti da quel punto i punti della curva 6) 

 cioè ad un cono (ovvero alle rette intersezione del piano fisso coi piani tan- 

 genti al cono 9) cioè ad una curva piana inviluppata dalle sue tangenti). 

 Se anche G = 0 , si ha una retta fissa congiungenti i due punti fissi 



h + tèi = 0 , £ ì .+ tèi + cM, = 0 

 (ovvero intersezione dei due piani fissi 



ax x — ^2 = 0 abxi — ax z -\-xì = 0) . 



« Se fosse solo Gr = 0, la terza della 21) mostra che si avrebbe la 

 quadrica rigata 



?i?4 — — Ma 2 



