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La formola (29) però dev' essere modificata quando il sistema ha vincoli 

 esterni (*) ». 



Il Castigliano nel suo libro Théorie de Véquilibre des systèmes élastiques et ses 

 applications (Turin, 1879) attribuisce a sè (p. 35) la prima dimostrazione rigorosa del 

 teorema che egli chiama del minimo lavoro ; ma, nel suo libro almeno, non lo enuncia (p. 30) 

 e non lo dimostra che pel caso di un sistema isolato, cioè senza appoggi, quantunque nei 

 casi pratici i sistemi siano sempre appoggiati; e neppure per quel caso egli dimostra che 

 il lavoro sia minimo, quantunque questa parola formi la caratteristica della nuova deno- 

 minazione da lui data a un teorema, che ne aveva già un'altra. E così egli stabilisce a 

 pag. 39 un teorema analogo a quello rappresentato dalla (29) senza però avvertire com'esso 

 vada modificato quando il sistema ha vincoli esterni, come accade sempre nelle applicazioni. 

 Tuttavia l'opera del Castigliano è degna di studio e di seria attenzione. Il Castigliano si 

 serve molto nelle sue dimostrazioni del teorema detto delle derivate del lavoro. Siccome 

 questo teorema tende ad introdursi nell'insegnamento nelle nostre Scuole degl'Ingegneri, 

 non è forse inutile qualche osservazione su di esso. Il teorema è così enunciato dal Castigliano : 

 u Si Von exprime le travail de déformation d'un système articulé en fonction des 

 u déplacements rélatifs des forces extérieures appliquées à ses sommets, on obtient une 

 u formule, dont les derivées, par rapport à ces déplacements, donnent la valeur des forces 

 « correspondantes. 



« Si Von exprime, au contraire, le travail de déformation d'un système articulé 

 « en fonction des forces extérieures, on obtient une formule, dont les derivées, par rap- 

 ii port à ces forces, donnent les déplacements rela.tifs de leurs points d'application ». 



Per spostamenti relativi s'intendono le proiezioni degli spostamenti sulle forze, ed 

 il lavoro di deformazione è 



L = ^ Cè s dl rs = 2 filici. 



La prima parte del teorema deriva immediatamente dall'equazione seguente che si 

 ricava dalle (1) 



(a) 2 (X r dx r ■+- Y r dy r -+- Z r dz r ) = 2 T rs dl rs , 



r rs 



onde 



(b) dL = 2R r do r , = E,. , 



r OQr 



detta R r la risultante di X r Y r Z r e Q r lo spostamento relativo di essa. 



Se poi si mettono al posto di dx r dy r dz r le proiezioni das r dy r dz r dello sposta- 

 mento q r , supposto piccolissimo, sugli assi, la (a), trascurando quantità di second'ordine, 

 diviene 



(fi) 2 (X P AXr -i-YrJyr-l-Tir àz r ) — 2 T rs à\ rs , 



r rs 



T 



essendo Jl rs l'allungamento subito da l rt a partire dalla figura iniziale. Ponendo — — in luogo 

 di Jl rs , si ha 



2-^- = 2È,rQ r , OSSia — 2~R r Qr- 



rs Srs r r 



Differenziando questa, e sottraendone la (b) si ottiene 



dh = 2Q r d'R r , = Q r - 



r dRr 



Questa è, in sostanza, la dimostrazione del Castigliano. 



