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retta r di <p 2 . Siano Ai A„ n punti qualunque di r. Sulle rette Oi k x , ... , OjA,, 

 vi sono <x> n ~ l gruppi B' 1? ... , B'„ di ~Lf n ,<nr-\ i quali costituiscono un aggrup- 

 pamento projettivo. Le rette 0 2 B' l5 ... , 0 2 B' W hanno n punti B x , ... , B n co- 

 muni con r, e i gruppi Bi ... B w costituiscono un aggruppamento projettivo 

 Ap n di r. Tutti i gruppi come Gr 2 „ (Ai ... k n B x ... B„) generano un aggrup- 

 pamento projettivo A.p 2n . Per dimostrare ciò basta far vedere che 2n — 2 

 punti qualunque costituiscono un gruppo G 2n con tutti i gruppi di un ag- 

 gruppamento projettivo Aj0 2 • Siccome i gruppi Ai ... A„ e B x ... B n entrano 

 nello stesso modo a costituire G 2n basterà far vedere che preso un gruppo 

 come Ai ... A„B 3 ... B„ , o A 2 ... A n B 2 ... B n , o A 2 ... A„Bi B 3 ... B„ , i punti 

 B n B 2 , o Ai, Bi, o Ai, B 2 che insieme ad esso dànno un gruppo Gt 2n si 

 corrispondono projettivamente. Nel primo caso la proprietà è già dimostrata, 

 perchè tutti i gruppi Bi ... B n che insieme ad A! ... A„ dànno un gruppo Gr 2 „, 

 come abbiamo veduto, generano un aggruppamento projettivo. Nel secondo 

 caso, essendo dati i punti A 2 , ... , A„ , B 2 , ... , B„ , sono dati pure i punti 

 B' 2 , ... , B'„ , e siccome tutti i punti B'i che insieme a questi costituiscono 

 un gruppo di Ip n , n _i sono tutti quelli di una retta r x , i punti corrispon- 

 denti k x , B, si trovano progettando da 0, , 0 2 uno stesso punto di ri , e 

 quindi si corrispondono projettivamente. Nel terzo caso, essendo dati i punti 

 A-2 , ... , k„ , B t , B 3 , ... , B„ , sono dati pure i punti B' 3 , ... , B' n e le rette 

 OjAj , 0 2 Bi che devono contenere B' 2 e B'i ; ora questi punti si corrispon- 

 dono su di esse projettivamente, quindi si corrispondono proiettivamente B 2 

 e A^ È adesso dimostrato che i gruppi Gr 2 „ generano un aggruppamento 

 projettivo A^p 2n . 



* I 2n elementi 2n-pli di A.p ìn sono gli n punti comuni a r e c„ e 

 il punto comune are alla retta 0! 0 2 contato n volte. 



« Un punto M di r determina una retta 0 2 M la quale ha n punti 

 N\ , ... , N'„ comuni con la linea c„, le n rette Oi N\ , ... , OiN'„ incon- 

 trano r in n punti N x , ... , N„ corrispondenti a M; analogamente a uno dei 

 punti N corrispondono n punti M. Si ha così una corrispondenza [n, n~\, che 

 è projettiva essendo costruita coli' aggruppamento projettivo A*p 2n - 



« 4. Supponiamo date, in uno stesso piano y 2 , due linee c n , c m , di or- 

 dine n e m. Prendiamo due punti Oi , 0 2 non appartenenti a c n nè a c m e 

 una qualunque retta r di <p 2 . 



« Se per 0 2 conduciamo in (f 2 una retta 0 2 M, che incontri r in M, i 

 suoi n punti N\ , ... , N'„ comuni con c n dànno n rette OiN'i , ... , OiN'„ che 

 incontrano r in n punti N x , ... , N„ . Tra i punti M, N di r esiste (n. 3) 

 una corrispondenza projettiva [n, n\. Ogni retta Oi P, condotta in cp 2 , in- 

 contra r in un punto P e incontra c m in m punti Q'i , ... , Q' TO i quali 

 dànno m rette 0 2 Q'i , ... , 0 2 Q' m che incontrano r in w punti Qi , ... , Q,„ . 

 Tra i punti P, Q di r esiste una corrispondenza projettiva \jn, m~]. Ora tra 



