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i punti M, Q, e quindi tra le rette 0 2 M, 0 2 Q, si può (facendo coincidere N 

 e P) stabilire una corrispondenza projettiva [mn, mn\ risultante delle due 

 [n, ri], [m, m\ I raggi doppi saranno 2mn. Evidentemente tra questi mn 

 coincidono con 0 2 0 x , e i rimanenti mn sono quelli che da 0 2 vanno ai punti 

 comuni a c a , c m . 



Due linee di ordine m, n hanno sempre mn punti comuni. 



« Bastino questi cenni per provare che i principi stabiliti nelle due 

 prime parti del presente lavoro sono sufficienti per dedurne una teoria geo- 

 metrica pura delle linee e delle superfìcie n-ple di involuzioni projettive, 

 linee e superficie che sono tutte quelle dette algebriche. 

 Pisa, 30 dicembre 1887. 



Nota di C. Segre. — Le pagine precedenti (a cui ho conservato il titolo originale, 

 sebbene della teoria generale a cui si riferiscono contengano solo il principio) costitui- 

 scono la 3 a (ed ultima) Parte — fino ad oggi inedita — del manoscritto che, sotto il titolo 

 « Fondamenti di una teoria, puramente geometrica, delle curve e delle superficie », il 

 compianto De Paolis presentò a quest'Accademia nel concorso al premio Reale per la 

 Matematica relativo al 1887. Veggansi in proposito la Relazione sul detto concorso in 

 questi Rendiconti t. V (2° sem. 1889), pag. 300, e quella recentissima (che propone un 

 premio postumo al De Paolis) nel presente volume dei Rendiconti, pag. 185; non che i 

 Cenni biografici del De Paolis da me pubblicati nel t. VI (1892) dei Rend. 1 del Circ, 0 

 matem. 0 di Palermo. — Si sa che, dopo presentato quel lavoro pel concorso, l'Autore si 

 occupò di completarlo e di stamparlo. Ed in fatti le prime due parti di esso furono pub- 

 blicate, con vari rimaneggiamenti e con qualche ampliamento : v. rispettivamente la Teo- 

 ria dei gruppi geometrici e delle corrispondenze che si possono stabilire tra i loro ele- 

 menti (Memorie della Società Italiana delle scienze, t. 7, ser. 3 a , 1890) e Le corrispondenze 

 projettive nelle forme geometriche fondamentali di l a specie (Memorie della R. Accad. 

 delle scienze di Torino, t. 42, ser. 2 a , 1892). Ma la morte — tanto funesta ed immatura! — 

 impedì all' A. di completare questa 3 a Parte, la quale, per mancanza di tempo, s'era ridotta 

 nel manoscritto a pochi cenni, mentre avrebbe richiesto un ampio sviluppo. 



Incaricato dall'egregia Famiglia De Paolis di esaminare alcune carte del nostro 

 compianto collega (nel che fui gentilmente aiutato, fra gli altri, dai signori Ciani, Enri- 

 ques e Lazzeri), non rinvenni tra esse nulla che si riferisse a questo lavoro. Ho perciò 

 ristampata qui quella 3 a Parte tal quale essa si trova nel manoscritto conservato dall'Ac- 

 cademia: persuaso che essa possa servire a dar qualche idea del metodo con cui l'A. 

 intendeva di applicare i risultati delle Parti precedenti e specialmente della 2 a , relativa 

 agli aggruppamenti projettivi nelle forme di l a specie, allo studio degli aggruppamenti 

 projettivi di specie superiore, e quindi delle curve e superficie algebriche. — Di mutamenti 

 rispetto al mscr. non ho fatto altro che : correggere poche sviste materiali ; introdurre una 

 nuova numerazione dei paragrafi, invece di continuar quella delle Parti precedenti ; ed adot- 

 tare — come ha fatto l'A. nella 2 a delle suddette Memorie stampate — i simboli Ap, Ip 

 per indicare gli aggruppamenti projettivi e le involuzioni projettive, in luogo di A ed 

 I che si trovano nel mscr. — 



Mi permetto di aggiungere qui poche parole intorno a quelli fra gli altri manoscritti 

 inediti del De Paolis che, come dissi, io fui incaricato di esaminare. Fra essi non ne trovai 

 alcuno che fosse pronto per la stampa, o che (secondo me) l'A. dopo qualche ritocco avrebbe 



