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« Nell'eq 6 . 2) possiamo introdurre le derivate della <t> rispetto a \i ed 

 a v. Abbiamo infatti da 1) 



4) — ~-\ r- = 0 



av Hv dv 



onde 2) diviene 



« Vogliamo determinare l'ordine di A ft . Prendendo a tal fine un piano 

 qualunque 



«i X\ -{- « 2 # 2 -4- cc 3 x 3 -f~ a 4 ^4 = 0 

 e sostituendovi i valori 3) di Xi si ha 



6) («i + « 2 ) / + («3 v-\-a 4 )g = 0: 



e l'ordine N 4 dell'assintotica A ft sarà il numero delle coppie u , y soluzioni 

 comuni, variabili con , delle eq'. 4) e 6). Intanto poiché la 6) è lineare 

 in u , eliminando tra essa e la 5) il rapporto / : g si ha 



7) na lf ^a 2 y^ + (a 3 v-\-a 4 y^ = 0. 



« Per risolvere questa eq e . rispetto a v e determinare conseguentemente 

 u razionalmente per mezzo di 6) in funzione di v , si badi che tra /x e v 

 vale la 1). Allora noi possiamo trovare le coppie [iv comuni alle 7) ed 1) 

 considerate come eq 1, di curve ed il loro numero sarà Ni . 



« Giova per questo rendere omogenee le equazioni; avremo allora: 



(m n m-hn\ 

 li , v , l ) — 0 



9) k («i p + a, A)» ^ + (« 3 >' + a 4 i)»^ = 0 



Posto N = m -f- n i si vede subito che la d> è una curva di ordina N con 

 due punti multipli, l'uno in fi = X = 0 secondo m , l'altro v = l = 0 se- 

 condo n (s'intende nell'ipotesi più generale intorno ai coefficienti di <P). E 

 corrispondentemente intanto la superficie 



\X% Xi } 



sarà dell'ordine N con le rette x x = Xz = 0 , x 3 = x± = 0 rispettivamente 

 m pia e( j n pia t Una sezione piana di questa superficie può intendersi rappre- 

 sentata dalla stessa curva <P ; perciò diremo indifferentemente curva <P o su- 

 perficie <P ; e se quella possiede altrove altri punti doppi in numero di ó , 

 questa avrà d altre generatrici doppie, ed il genere p dell'una o dell'altra 



_ (N — 1)(N — 2) _ m(m— 1) _ m(n — l) __ 



P~ 2 2 2 



10) =(m — 1)(« — 1) — tf=wm— N — J+l 



