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«La curva 9) è intanto dell'ordine N' = N + 1, ciò eh' è evidente. 

 Vediamo piuttosto com'essa si comporti rispetto ai punti multipli ed ai punti 



doppi. Ora la curva — = 0 è la prima polare rispetto a <2> del punto 



~òv 



X =. [i = 0 , ed ha, perciò, in quel punto la stessa moltiplicità m con le 

 stesse tangenti di <P , mentre invece nel punto X = v = 0 ha la moltiplicità 



1><P 



n — 1 e non con le stesse tangenti di <X>. Analogamente si dica per — = 0 . 



ofi 



Le parti («i fi -f- a 2 Xf — , (« 3 v -\- «4 X) 2 — sono, per tanto, nspettiva- 



~ifl ~ÒV 



mente di dimensione (m-\-l) ma in fi : X ed n ma in v : X , e di dimensione 

 (n -f- 1 ) ma in v : X ed m ma in fi : X ; perciò nell'aggregato 9) i punti fi = X = 0 , 

 v = X = 0 sono multipli secondo m ed n ; ed anzi la forma omogenea in fi : X che 



dà le m tangenti nel primo punto multiplo è quella che si trova in — , cioè 



è la stessa di quella che si trova in (V , e così deve dirsi per le n tangenti j 



nel punto v = X = 0. Infine i ó punti doppi di <P sono semplici per — , — 



ofl af 



e semplici per l'aggregato 9). 



« Segue da questa analisi che il numero dei punti come alle 1) e 9) , 

 cioè l'ordine dell' assintotica A ì{ è 



11) Ni = N (N + 1) — m 2 — n 2 — m — n — 2ó = 2 (mn — J) . 

 e per 10) 



12) N 1 = 2(p + N — 1). 



Ora il secondo membro è eguale, come si sa, alla classe K di una (sezione 

 piana di <P) curva piana d'ordine N e genere p : dunque 



13) N, = K (l) 



In particolare se p = 0 , onde ó = (m — 1) (n — 1) si ha 

 Ni = 2 (N — 1) — 2 (m + ri— 1) 



risultato dovuto a Cremona (Annali di Mat. 1867 pag. 253). 



« Cerchiamo adesso il numero dei punti cuspidali, sull'una e sull'altra 

 delle due direttrici multiple, punti da' quali partono, com'è noto, generatrici 

 singolari della superficie d>. 



« Per quelli posti, ad esempio, sulla direttrice multipla m pla deve aversi 



dv ~à<f> 

 (Nota I) G = -j^ = 0 ovvero per 4) — = 0 . 



(') Vedasi Voss (Math. Anualen Bd. VII, 1875, pag. 79\ al quale, io credo, si deve 

 il teorema espresso in 13); Picard, Application, de la Théorie des complexes Hnéaires, 

 Annales de l'Écol normale sup. 1877, pag. 325. 



