— 234 — 



le quali, eliminando il rapporto f : g , si riducono alle due 



<P = 0 , 2 .(«! -f « 2 + or 3 f) ^ — + ^) + "0 = 0 

 alla seconda delle quali possiamo sostituire l'altra 



2 («! jW -f- a 2 -j- ce 3 v) — k (« 3 fx -4- «4) J — + («3^ + «4) — = 0 

 in virtù della 



1><I> dfi ■ 

 "S/t efo Di' 



Bisogna trovar le soluzioni comuni alla 19) ed alla <P = 0 . 

 « Kesa omogenea questa con lo scrivere 



<i>\ I* ,v , x ) =p 0 yx , n] -j-^l^w v * + ••• 



+ jp n _, (A , /t)™-» + * A'- 1 +jj„ (A , iti)" 1 -" v» A" = 0 , 

 la 19) si scriverà 



20) |^2(a! ,u -|- a 2 A -j- « 3 v) — (« 3 jU -f a 4 A) J — + (« 3 + «4 A) — = 0 



La curva O = 0 è dell'ordine w -f- w = N, ha nel punto \x = A = 0 la mol- 

 tiplicità secondo il numero m , con la tangente A = 0 comune ad n = N — m 

 rami. Ponendo v — 1 e facendo la trasformazione quadratica, usata in questi 

 casi, /t = /<! , A = A t , si ha una curva d'ordine m-\-2n, che, ordinata 

 secondo potenze crescenti, comincia col gruppo di termini 



«o Ai" -|- «i Ai" -1 ,«-}-••• + a " l l i n > 

 e che ha dunque nel punto A l =ja 1 = 0 la moltiplicità w con n tangenti 



tra loro distinte, il che equivale, com'è noto, ad n ^ n — punti doppi. 



a 



« Adunque nella curva primitiva <T> si ha nel punto fi = A — 0 un 



Yl(fl 1 ) 



punto m pl ° al quale siasi accostato un punto n pl ° equivalente ad — — - — — 



punti doppi (punto m pl ° (-f- n) pl ° secondo il simbolo di Cayley). 



« Se, intanto, ó è il numero di punti doppi che la <Z> può altrove pos- 

 sedere (e conseguentemente la sup. <t> avrà ó generatrici doppie), il genere 

 di d> (0 della superficie) è 



_ (N — 1)(N — 2) _ m(m — l) _ n(n—l) _ 

 P ~ 2 2 2 



= (m — 1) (n — 1) — ó = mn — ó — N -J- 1 . 



come precedentemente nel n. 1. 



« Studiamo adesso la curva 20). Essa passa semplicemente per i ó 



punti doppi di 3> . Infatti per ogni punto siffatto — e — svaniscono al 



1° ordine. 



