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« La curva — = 0 è la prima polare del punto multiplo a = [x = 0 



perciò questo punto è multiplo per essa secondo lo stesso numero m e con 

 le stesse tangenti, tra le quali la l — 0 tangente comune ad n rami ; mentre 

 i punti doppi sono semplici. L'eq e . 20), ordinata secondo le potenze di v, 

 comincia col termine 



2« 3 >' — 



onde anche la 20) ha la singolarità suddetta. Non giova considerare la po- 



lare — = 0 , perchè il punto v — 1 = 0 non è sulla curva, essendo il ri- 



sultato della sostituzione p 0 (o , fi) m+n . che non può essere nullo a meno che 

 non sia |) 0 = 0 o non sia zero il coefficiente di i.i m+ ' 1 nella forma (l , fi) m+n . 

 E ciò non è, altrimenti l'eq e . della curva si abbasserebbe. Inoltre la 20) ha 



10 stesso ordine N di tf> ; dunque il numero dei loro punti comuni, cioè l'or- 

 dine (la classe) dell' assintotica A ft è 



Ni — N 2 — m- — n z — "n — 2ó = 2mn — n — 2d 



ovvero anche 



21) Ni = '2jd -{- 2N — n — 2 — 2(p -|- N — 1) — n. 



* Il secondo membro è appunto la classe della curva 0 , chè, rispetto 

 a quella della curva a punti multipli distiti, la classe soffre la diminuzione 

 del numero n de' punti di diramazione. 



« Il genere n è poi eguale a p, perchè l'assintotica ed una sezione 

 piana qualunque sono punteggiate proiettivamente per mezzo delle generatrici 

 delle superficie. E d'altra parte la 16) dà precisamente tz—~;v se k—1. 



« Troviamo il numero dei punti cuspidali. Per questi abbiam le solu- 

 zioni comuni alle eq'. 



a> = 0, — = 0 . 



* Or calcolando effettivamente — si trova 



— = X U (\,ll) m+ - t -| 1- (n — l)p n -iC^r - +1 ^"~ 2 l'- 2 + ìip, t (A,/^)™- V'-^- 1 



W v ' ; 

 « Il fattore 1 eguagliato a zero darebbe quei valori di v per i quali 

 anche fi dovrebbe esser nullo dovendo esser <2> = 0, e le eq 1 . 5) o 8) delle 

 generatrici (Nota II) riescirebbero indeterminate. Bisogna adoperare dunque 



11 fattore in ) \ . Or quel fattore, eguagliato a zero, rappresenta una curva 

 d'ordine N — 2 con un pimto (m — l) pl ° {-\-{n — X) pl °) e con ó punti 



